ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 607 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя графики уравнений, найдите (приближённо) решения системы:

а) {y+(1/2)x^2=2, y+1=2x^2}; б) {2xy=3, x^2+y^2=9}.

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
y + \frac{1}{2}x^2 = 2, \\
y + 1 = 2x^2.
\end{cases}
\]
Преобразуем уравнения:

\[
y = 2 — \frac{x^2}{2}, \quad y = 2x^2 — 1.
\]

Графики уравнений:

Ответ:

\((-1,1; 1,4); (1,1; 1,4).\)

б)
\[
\begin{cases}
2xy = 3, \\
x^2 + y^2 = 9.
\end{cases}
\]
Преобразуем уравнения:

\[
y = \frac{3}{2x}, \quad x^2 + y^2 = 3^2.
\]

Графики уравнений:

Ответ:

\((-3; -0,5); (-0,5; -3); (0,5; 3); (3; 0,5).\)

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} y + \frac{1}{2}x^2 = 2, \\ y + 1 = 2x^2. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение:

\( y + \frac{1}{2}x^2 = 2 \) преобразуем в \( y = 2 — \frac{x^2}{2} \).

Второе уравнение:

\( y + 1 = 2x^2 \) преобразуем в \( y = 2x^2 — 1 \).

2. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:

\( 2 — \frac{x^2}{2} = 2x^2 — 1 \)

3. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 4 — x^2 = 4x^2 — 2 \)

4. Переносим все в одну сторону:

\( 4 — x^2 — 4x^2 + 2 = 0 \)

5. Упрощаем:

\( -5x^2 + 6 = 0 \)

6. Решаем относительно \( x^2 \):

\( 5x^2 = 6 \)

\( x^2 = \frac{6}{5} \)

7. Извлекаем корень:

\( x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}} \)

8. Подставляем найденные значения \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):

Для \( x = -\sqrt{\frac{6}{5}} \), подставляем в \( y = 2x^2 — 1 \), получаем \( y = \frac{12}{5} — 1 = \frac{7}{5} \).

Для \( x = \sqrt{\frac{6}{5}} \), аналогично получаем \( y = \frac{7}{5} \).

Ответ: Точки пересечения: \( (-1,1; 1,4); (1,1; 1,4) \).

б) \( \begin{cases} 2xy = 3, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение:

\( 2xy = 3 \) преобразуем в \( y = \frac{3}{2x} \).

Второе уравнение:

\( x^2 + y^2 = 9 \) остаётся как есть.

2. Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:

\( x^2 + \left( \frac{3}{2x} \right)^2 = 9 \)

3. Упрощаем:

\( x^2 + \frac{9}{4x^2} = 9 \)

4. Умножим обе стороны на \( 4x^2 \), чтобы избавиться от дроби:

\( 4x^4 + 9 = 36x^2 \)

5. Переносим все в одну сторону:

\( 4x^4 — 36x^2 + 9 = 0 \)

6. Обозначим \( z = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( 4z^2 — 36z + 9 = 0 \)

7. Решим это квадратное уравнение для \( z \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-36)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1296 — 144 = 1152 \)

8. Корни для \( z \):

\( z = \frac{36 \pm \sqrt{1152}}{8} = \frac{36 \pm 33.94}{8} \)

9. Найденные корни для \( z \): \( z_1 = 8.75 \), \( z_2 = 0.25 \). Теперь извлекаем корни из \( z \), чтобы найти \( x \) и \( y \):

Для \( z_1 = 8.75 \), \( x = \pm \sqrt{8.75} \), и подставляем в \( y = \frac{3}{2x} \), получаем \( y \) для каждого значения \( x \).

Для \( z_2 = 0.25 \), \( x = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5 \), и подставляем в \( y = \frac{3}{2x} \), получаем соответствующие значения \( y \).

Ответ: Точки пересечения: \( (-3; -0,5); (-0,5; -3); (0,5; 3); (3; 0,5) \).