ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 606 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выясните, используя графики уравнений, сколько решений имеет система:

а) {(1/2)x-y=-2, 2x^2-y-5=0}; б) {x^2+y^2=25, xy=-2}.

Найти количество решений данной системы уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}x — y = -2, \\
2x^2 — y — 5 = 0.
\end{cases}
\]

Преобразуем уравнения:

\[
y = \frac{x}{2} + 2, \quad y = 2x^2 — 5.
\]

Графики уравнений:

Ответ: 2.

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 25, \\
xy = -2.
\end{cases}
\]

Преобразуем уравнения:

\[
x^2 + y^2 = 5^2, \quad y = \frac{-2}{x}.
\]

Графики уравнений:

Ответ: 4.

Найти количество решений данной системы уравнений:

а) \( \begin{cases} \frac{1}{2}x — y = -2, \\ 2x^2 — y — 5 = 0. \end{cases} \)

1. Преобразуем оба уравнения:

Первое уравнение:

\( \frac{1}{2}x — y = -2 \) преобразуем в \( y = \frac{x}{2} + 2 \).

Второе уравнение:

\( 2x^2 — y — 5 = 0 \) преобразуем в \( y = 2x^2 — 5 \).

2. Получаем систему уравнений:

\( y = \frac{x}{2} + 2 \) и \( y = 2x^2 — 5 \).

3. Приравниваем два выражения для \( y \):

\( \frac{x}{2} + 2 = 2x^2 — 5 \)

4. Умножаем все на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( x + 4 = 4x^2 — 10 \)

5. Переносим все в одну сторону:

\( 4x^2 — x — 14 = 0 \)

6. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 \)

7. Корни уравнения:

\( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 15}{8} \)

8. Получаем два корня:

\( x_1 = \frac{16}{8} = 2, \quad x_2 = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4} \)

9. Подставляем найденные значения \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):

Для \( x_1 = 2 \), подставляем в \( y = \frac{x}{2} + 2 \): \( y_1 = \frac{2}{2} + 2 = 3 \).

Для \( x_2 = -\frac{7}{4} \), подставляем в \( y = \frac{x}{2} + 2 \): \( y_2 = \frac{-\frac{7}{4}}{2} + 2 = -\frac{7}{8} + 2 = \frac{9}{8} \).

10. Таким образом, система имеет 2 решения: \( (2, 3) \) и \( \left( -\frac{7}{4}, \frac{9}{8} \right) \).

Ответ: 2.

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -2. \end{cases} \)

1. Преобразуем первое уравнение:

\( x^2 + y^2 = 25 \), это уравнение окружности с радиусом 5 и центром в начале координат.

2. Преобразуем второе уравнение:

\( xy = -2 \), это уравнение гиперболы.

3. Подставим \( y = \frac{-2}{x} \) из второго уравнения в первое:

\( x^2 + \left( \frac{-2}{x} \right)^2 = 25 \)

4. Упростим и получим уравнение для \( x \):

\( x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 \)

5. Умножим обе части на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:

\( x^4 + 4 = 25x^2 \)

6. Переносим все в одну сторону:

\( x^4 — 25x^2 + 4 = 0 \)

7. Обозначим \( z = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( z^2 — 25z + 4 = 0 \)

8. Решим это квадратное уравнение для \( z \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 625 — 16 = 609 \)

9. Корни для \( z \):

\( z = \frac{25 \pm \sqrt{609}}{2} \)

10. Найдем корни для \( x^2 \), затем извлекаем корень из найденных значений \( z \), что дает 4 решения для \( x \) и соответственно 4 для \( y \), так как \( y = \frac{-2}{x} \).

Ответ: 4.