ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 600 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение x^2-8xy+17y^2+2y+1=0 имеет единственное решение.

Есть только одно решение:

\[
x^2 — 8xy + 17y^2 + 2y + 1 = 0;
\]

\[
x^2 — 8xy + 16y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0;
\]

\[
(x — 4y)^2 + (y + 1)^2 = 0;
\]

\[
y = -1, \, x = -4;
\]

Что и требовалось доказать.

Есть только одно решение:

Дано уравнение:

\[
x^2 — 8xy + 17y^2 + 2y + 1 = 0;
\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\[
x^2 — 8xy + 16y^2 + y^2 + 2y + 1 = 0;
\]

Мы добавили и вычли \( 16y^2 \), чтобы привести уравнение к удобной форме для дальнейшего преобразования.

Шаг 2: Записываем уравнение как сумму квадратов:

\[
(x — 4y)^2 + (y + 1)^2 = 0;
\]

Это уравнение описывает точку, в которой радиус окружности равен нулю, то есть решение существует только в одной точке.

Шаг 3: Найдем координаты точки:

\[
x — 4y = 0, \quad y + 1 = 0;
\]

Из второго уравнения \( y + 1 = 0 \) получаем \( y = -1 \). Подставим это значение во первое уравнение \( x — 4(-1) = 0 \), получаем \( x = -4 \).

Ответ: Единственное решение системы: \( x = -4, \, y = -1 \).

Что и требовалось доказать.