ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 577 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Покажите штриховкой множество решений неравенства:

а) $$$y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0$

б) $$$(2x + y)(x^2 + y^2 + 1) \leq 0$

в) $$$x(x^2 + y^2 — 25) \leq 0$

г)$$$(x-3y)(x^2+y^2+2)\ge 0$

Изобразить решения:

а) $$$y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0$
$x^2 + y^2 — 16 \geq 0$
$x^2 + y^2 \geq 16$
$x_0 = y_0 = 0, \quad R = 4$
График неравенства:

б) $$$(2x + y)(x^2 + y^2 + 1) \leq 0$
$2x + y \leq 0, \quad y \leq -2x$
График неравенства:

в) $$$x(x^2 + y^2 — 25) \leq 0$
$x^2 + y^2 — 25 \leq 0$
$x^2 + y^2 \leq 25$
$x_0 = y_0 = 0, \quad R = 5$
График неравенства:

г)$$$(x — 3y)(x^2 + y^2 + 2) \geq 0$
$x — 3y \geq 0, \quad 3y \leq x, \quad y \leq \frac{x}{3}$
График неравенства:

а)

$$y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0$$

Рассматривается знак произведения двух выражений:
$A = y$,
$B = x^2 + y^2 — 16$

Произведение $A \cdot B \geq 0$, значит:

• Либо $A \geq 0$ и $B \geq 0$ одновременно,
• Либо $A \leq 0$ и $B \leq 0$ одновременно.

Шаг 1: Анализ выражения $x^2 + y^2 — 16$

Это выражение сравнивается с нулём, его граница:

$$x^2 + y^2 = 16$$

— уравнение окружности с центром в начале координат, радиус $R = 4$

Разделение плоскости:

Внешняя часть окружности:

$$x^2 + y^2 — 16 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \geq 16$$

— область вне или на окружности

Внутренняя часть:

$$x^2 + y^2 — 16 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \leq 16$$

— область внутри или на окружности

Шаг 2: Совместный анализ $y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0$

Разберём оба случая:

1. $y \geq 0$ и $x^2 + y^2 — 16 \geq 0$:

Точка лежит в верхней полуплоскости и снаружи круга (или на его границе)

2. $y \leq 0$ и $x^2 + y^2 — 16 \leq 0$:

Точка лежит в нижней полуплоскости и внутри круга (или на его границе)

Граница включается:

Так как неравенство нестрогое, то обе границы (прямая $y = 0$ и окружность $x^2 + y^2 = 16$) входят в решение в соответствующих участках.

Описание итоговой фигуры:

Область состоит из двух частей:

• Верхняя часть вне круга (включая дугу окружности и ось $y = 0$), где $y \geq 0$ и $x^2 + y^2 \geq 16$
• Нижняя часть внутри круга, где $y \leq 0$ и $x^2 + y^2 \leq 16$

Фигура симметрична относительно оси $x$ и состоит из внутренней нижней половины круга и внешней верхней области за пределами окружности.

б)

$$(2x + y)(x^2 + y^2 + 1) \leq 0$$

Рассматривается произведение двух выражений:

• $A = 2x + y$ — уравнение прямой
• $B = x^2 + y^2 + 1$ — всегда положительно, так как сумма квадратов неотрицательна, а +1 делает выражение > 0.

Следовательно:

$$(2x + y)(\text{положительное}) \leq 0 \Rightarrow 2x + y \leq 0$$

Преобразуем:

$$y \leq -2x$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $-2$, проходящей через начало координат.
Решением будет вся область ниже (или на) этой прямой

Описание графика:

Прямая $y = -2x$:

• Убывающая, проходит через начало координат
• Делит плоскость на две части
• Решение — вся полуплоскость, находящаяся ниже или на прямой

в)

$$x(x^2 + y^2 — 25) \leq 0$$

Опять рассматриваем произведение двух выражений:

• $A = x$
• $B = x^2 + y^2 — 25$

Граница по второму множителю:

$$x^2 + y^2 = 25 \Rightarrow R = 5$$

— окружность с центром в начале координат

Значения выражения:

1. $x \geq 0$ и $x^2 + y^2 \leq 25$:
   → Область внутри круга, правая полуплоскость
2. $x \leq 0$ и $x^2 + y^2 \geq 25$:
   → Область снаружи круга, левая полуплоскость

Обе области включают границы, так как неравенство нестрогое.

Описание итоговой фигуры:

Область состоит из двух частей:

• Правая часть круга, включая полуокружность справа (внутри круга и $x \geq 0$)
• Левая внешняя область, то есть вся часть с $x \leq 0$ вне круга

Фигура включает:

• Половину круга справа (внутри круга, включая границу)
• Область за пределами круга слева от оси $x$

г)

$$(x — 3y)(x^2 + y^2 + 2) \geq 0$$

Анализ:

$x^2 + y^2 + 2 > 0$ всегда положительно, так как сумма квадратов неотрицательна, а $+2$ делает её строго положительной.

Поэтому:

$$(x — 3y)(\text{положительное}) \geq 0 \Rightarrow x — 3y \geq 0$$

Преобразуем:

$$x \geq 3y \Rightarrow y \leq \frac{1}{3}x$$

Описание графика:

Прямая $y = \frac{1}{3}x$:

• Возрастающая
• Проходит через начало координат
• Делит плоскость на две области

Решением является:

• Вся область ниже или на прямой $y = \frac{1}{3}x$