ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 577 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Покажите штриховкой множество решений неравенства:

а) y(x^2+y^2-16)?0; в) x(x^2+y^2-25)?0;

б) (2x+y)(x^2+y^2+1)?0; г) (x-3y)(x^2+y^2+2)?0.

a)
\[
\begin{cases}
y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0, \\
x^2 + y^2 — 16 \geq 0, \\
x^2 + y^2 \geq 16.
\end{cases}
\]

\[
x_0 = y_0 = 0, \, R = 4.
\]

б)
\[
\begin{cases}
(2x + y)(x^2 + y^2 + 1) \leq 0, \\
2x + y \leq 0, \\
y \leq -2x.
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
x(x^2 + y^2 — 25) \leq 0, \\
x^2 + y^2 — 25 \leq 0, \\
x^2 + y^2 \leq 25.
\end{cases}
\]

\[
x_0 = y_0 = 0, \, R = 5.
\]

г)
\[
\begin{cases}
(x — 3y)(x^2 + y^2 + 2) \geq 0, \\
x — 3y \geq 0, \\
3y \leq x, \\
y \leq \frac{x}{3}.
\end{cases}
\]

a) Система неравенств:

\[
\begin{cases}
y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0, \\
x^2 + y^2 — 16 \geq 0, \\
x^2 + y^2 \geq 16.
\end{cases}
\]

1) Второе неравенство:
\( x^2 + y^2 — 16 \geq 0 \) — это неравенство описывает окружность радиусом 4, с центром в точке \( (0, 0) \).

2) Первое неравенство:
\( y(x^2 + y^2 — 16) \geq 0 \) — это неравенство указывает на то, что \( y \) и \( x^2 + y^2 — 16 \) должны иметь одинаковые знаки, т.е. если \( y \geq 0 \), то \( x^2 + y^2 — 16 \geq 0 \) и наоборот.

3) Третье неравенство:
\( x^2 + y^2 \geq 16 \) — это неравенство подтверждает, что точки находятся вне окружности радиусом 4, то есть на внешней части окружности и на самой окружности.

Ответ:
График системы ограничен окружностью радиусом 4, но только теми частями, где \( y \geq 0 \) или \( y \leq 0 \), в зависимости от знаков соответствующих частей функции \( x^2 + y^2 — 16 \).

b) Система неравенств:

\[
\begin{cases}
(2x + y)(x^2 + y^2 + 1) \leq 0, \\
2x + y \leq 0, \\
y \leq -2x.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:
\( (2x + y)(x^2 + y^2 + 1) \leq 0 \) — это неравенство указывает, что произведение двух факторов должно быть меньше или равно нулю. Так как \( x^2 + y^2 + 1 \) всегда положительно, неравенство зависит от знака \( 2x + y \). Следовательно, \( 2x + y \leq 0 \).

2) Второе неравенство:
\( 2x + y \leq 0 \) — это неравенство описывает полуплоскость, где \( y \leq -2x \).

3) Третье неравенство:
\( y \leq -2x \) — это также полуплоскость, ограниченная прямой с угловым коэффициентом \( -2 \).

Ответ:
График этой системы ограничен пересечением двух полуплоскостей: одной, где \( 2x + y \leq 0 \), и второй, где \( y \leq -2x \).

в) Система неравенств:

\[
\begin{cases}
x(x^2 + y^2 — 25) \leq 0, \\
x^2 + y^2 — 25 \leq 0, \\
x^2 + y^2 \leq 25.
\end{cases}
\]

1) Второе неравенство:
\( x^2 + y^2 — 25 \leq 0 \) — это неравенство описывает окружность радиусом 5, с центром в точке \( (0, 0) \).

2) Первое неравенство:
\( x(x^2 + y^2 — 25) \leq 0 \) — это неравенство зависит от знака \( x \), так как \( x^2 + y^2 — 25 \leq 0 \) для значений, лежащих внутри или на окружности.

Ответ:
График данной системы будет ограничен окружностью радиусом 5 с центром в точке \( (0, 0) \), в зависимости от знака \( x \).

г) Система неравенств:

\[
\begin{cases}
(x — 3y)(x^2 + y^2 + 2) \geq 0, \\
x — 3y \geq 0, \\
3y \leq x, \\
y \leq \frac{x}{3}.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:
\((x — 3y)(x^2 + y^2 + 2) \geq 0\) — это неравенство указывает на то, что произведение двух факторов должно быть неотрицательным. Так как \(x^2 + y^2 + 2\) всегда положительно, неравенство зависит от знака \( x — 3y \). Следовательно, \( x — 3y \geq 0 \).

2) Второе неравенство:
\( x — 3y \geq 0 \) — это неравенство описывает полуплоскость, где \( y \leq \frac{x}{3} \).

3) Третье неравенство:
\( 3y \leq x \) — это неравенство также ограничивает область полуплоскостью, где \( y \leq \frac{x}{3} \).

4) Четвертое неравенство:
\( y \leq \frac{x}{3} \) — это неравенство ограничивает область теми точками, которые лежат ниже прямой с угловым коэффициентом \( \frac{1}{3} \).

Ответ:
График системы ограничен пересечением четырех полуплоскостей, что создает область решений, удовлетворяющую всем условиям системы. Решения будут ограничены регионами, где \( x \geq 3y \) и \( y \leq \frac{x}{3} \), что дает ограничение на область расположения точек.