ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 574 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите в координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 16, \\
3x + 2y \geq -6.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y < 3, \\
x + 2y \geq -2.
\end{cases}
\]

Изобразить график системы:

a)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 16, \\
3x + 2y \geq -6.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:
\[
x^2 + y^2 \leq 16;
\]

\[
x_0 = y_0 = 0, \, R = 4.
\]

2) Второе неравенство:
\[
2y \geq -3x — 6;
\]

\[
y \geq -\frac{3}{2}x — 3.
\]

График неравенства:

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y < 3, \\
x + 2y \geq -2.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:
\[
y < 3 — x^2.
\]

2) Второе неравенство:
\[
2y \geq -x — 2;
\]

\[
y \geq -\frac{1}{2}x — 1.
\]

График неравенства:

а)

Система неравенств:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 16 \\ 3x + 2y \geq -6 \end{cases}$$

1. Первое неравенство: $x^2 + y^2 \leq 16$

Форма:
Это — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 4:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad R = \sqrt{16} = 4$$

Граница:

$$x^2 + y^2 = 16$$

— окружность с центром в точке (0, 0), радиус 4. Она проходит через точки (4, 0), (–4, 0), (0, 4), (0, –4) и т.д.

Область:
Так как знак неравенства нестрогий и «≤», заштрихована вся область внутри и на окружности. Это круг, включая границу.

2. Второе неравенство: $3x + 2y \geq -6$

Преобразуем к каноническому виду:

$$2y \geq -3x — 6 \Rightarrow y \geq -\frac{3}{2}x — 3$$

Форма:
Это уравнение прямой:

$$y = -\frac{3}{2}x — 3$$

— прямая с отрицательным угловым коэффициентом, то есть она убывает. Коэффициент наклона $k = -\frac{3}{2}$

Построение границы:

• Найдём две точки:
  • Если $x = 0$, то $y = -3$ → точка (0; –3)
  • Если $x = –2$, то $y = -\frac{3}{2}(-2) — 3 = 3 — 3 = 0$ → точка (–2; 0)

Прямая проходит через эти две точки.

Область:
Так как знак «≥», заштриховывается область выше или на прямой $y = -\frac{3}{2}x — 3$

3. Пересечение графиков:

Первая фигура — круг радиуса 4 с центром в начале координат, включая границу.

Вторая фигура — полуплоскость, находящаяся выше (или на) прямой $y = -\frac{3}{2}x — 3$

Искомая область — это часть круга, которая лежит над прямой $y = -\frac{3}{2}x — 3$

Форма области:
Представляет собой сегмент круга — часть окружности, отсекаемая прямой снизу.

б)

Система неравенств:

$$\begin{cases} x^2 + y < 3 \\ x + 2y \geq -2 \end{cases}$$

1. Первое неравенство: $x^2 + y < 3$

Преобразуем:

$$y < 3 — x^2$$

Форма:
Это парабола, ветви направлены вниз (потому что перед $x^2$ — минус).
Уравнение границы:

$$y = 3 — x^2$$

— парабола с вершиной в точке $(0; 3)$, симметричная относительно оси $y$.

Область:
Знак неравенства — строгий «меньше» → заштрихована область строго ниже параболы, граница не включается.

2. Второе неравенство: $x + 2y \geq -2$

Преобразуем:

$$2y \geq -x — 2 \Rightarrow y \geq -\frac{1}{2}x — 1$$

Форма:
Это прямая:

$$y = -\frac{1}{2}x — 1$$

— убывающая прямая, $k = -\frac{1}{2}$

Построение границы:

• Если $x = 0$, то $y = -1$ → точка (0; –1)
• Если $x = –2$, то $y = -\frac{1}{2}(-2) — 1 = 1 — 1 = 0$ → точка (–2; 0)

Прямая проходит через (0; –1) и (–2; 0)

Область:
Так как знак «≥», заштриховывается область выше или на прямой

3. Пересечение графиков:

Первая фигура — область под параболой $y = 3 — x^2$, граница не входит

Вторая фигура — область над прямой $y = -\frac{1}{2}x — 1$, граница входит

Искомая область — это часть плоскости, находящаяся между параболой сверху и прямой снизу

Форма области:
Это ограниченная сверху ветвями параболы, а снизу — прямой
Область имеет изогнутую верхнюю границу (парабола) и прямую нижнюю границу