ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 573 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте системой неравенств:

а) треугольник с вершинами (0; 5), (—4; 0) и (4; 0);

б) четырёхугольник с вершинами (-1; -1); (3; 3), (6; —1) и (2; —2).

Задать системой неравенств:

a) \((0; 5), (-4; 0), (4; 0)\);

1) Первая прямая:
\[
5 = 0k + b, \, b = 5; \quad 0 = -4k + b, \, b = 4k;
\]

\[
4k = 5, \, k = 1.25;
\]

2) Вторая прямая:
\[
5 = 0k + b, \, b = 5; \quad 0 = 4k + b, \, b = -4k;
\]

\[
-4k = 5, \, k = -1.25;
\]

3) Третья прямая:
\[
0 = -4k + b, \, b = 4k; \quad 0 = 4k + b, \, 0 = 4k + 4k;
\]

\[
8k = 0, \, k = 0, \, b = 0;
\]

Система неравенств:
\[
y < 1.25x + 5, \quad 4y — 5x < 20;
\]

\[
y < -1.25x + 5, \quad 4y + 5x < 20;
\]

Ответ:
\[
4y — 5x < 20, \quad 4y + 5x < 20, \quad y > 0.
\]

b) \((-1; -1), (3; 3), (6; -1), (2; -2)\);

1) Первая прямая:
\[
-1 = -k + b, \, b = k — 1; \quad 3 = 3k + b, \, 3 = 3k + k — 1;
\]

\[
4k = 4, \, k = 1, \, b = 1 — 1 = 0;
\]

2) Вторая прямая:
\[
3 = 3k + b, \, b = 3 — 3k; \quad -1 = 6k + b, \, -1 = 6k + 3 — 3k;
\]

\[
3k = -4, \, k = -\frac{4}{3}, \, b = 3 + 4 = 7;
\]

3) Третья прямая:
\[
-1 = 6k + b, \, b = -1 — 6k; \quad -2 = 2k + b, \, -2 = 2k — 1 — 6k;
\]

\[
4k = 1, \, k = \frac{1}{4}, \, b = -1 — \frac{3}{2} = -\frac{5}{2};
\]

4) Четвёртая прямая:
\[
-1 = -k + b, \, b = k — 1; \quad -2 = 2k + b, \, -2 = 2k + k — 1;
\]

\[
3k = -1, \, k = -\frac{1}{3}, \, b = -\frac{4}{3};
\]

Система неравенств:
\[
y < x, \quad y — x < 0;
\]

\[
y < -\frac{4}{3}x + 7, \quad 3y + 4x < 21;
\]

\[
y > \frac{1}{4}x — \frac{5}{2}, \quad 4y — x > -10;
\]

\[
y > -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3}, \quad 3y + x > -4;
\]

Ответ:
\[
y — x < 0, \quad 3y + 4x < 21, \quad 4y — x > -10, \quad 3y + x > -4.
\]

a) Даны точки:

\[
(0; 5), (-4; 0), (4; 0)
\]

1) Первая прямая:

Для первой прямой используем точки \( (0; 5) \) и \( (-4; 0) \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставляем первую точку \( (0; 5) \):

\[
5 = 0k + b \quad \Rightarrow \quad b = 5.
\]

Теперь подставляем вторую точку \( (-4; 0) \):

\[
0 = -4k + 5 \quad \Rightarrow \quad 4k = 5 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{5}{4} = 1.25.
\]

Таким образом, уравнение первой прямой:

\[
y = 1.25x + 5.
\]

2) Вторая прямая:

Для второй прямой используем точки \( (0; 5) \) и \( (4; 0) \).

Подставляем первую точку \( (0; 5) \):

\[
5 = 0k + b \quad \Rightarrow \quad b = 5.
\]

Теперь подставляем вторую точку \( (4; 0) \):

\[
0 = 4k + 5 \quad \Rightarrow \quad -5 = 4k \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{5}{4} = -1.25.
\]

Таким образом, уравнение второй прямой:

\[
y = -1.25x + 5.
\]

3) Система неравенств:

Теперь рассмотрим систему неравенств:

\[
\begin{cases}
y < 1.25x + 5, \\
2y — x < 10, \\ y > -1.25x + 5, \\
2y — x > -8.
\end{cases}
\]

Эта система описывает области, ограниченные прямыми. После анализа мы получаем следующее:

Ответ для \(a\):

\[
\begin{cases}
2y — x < 10, \\ 2y — x > -8.
\end{cases}
\]

b) Даны точки:

\[
(-1; -1), (3; 3), (6; -1), (2; -2)
\]

1) Первая прямая:

Для первой прямой используем точки \( (-1; -1) \) и \( (3; 3) \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставляем первую точку \( (-1; -1) \):

\[
-1 = -k + b \quad \Rightarrow \quad b = k — 1.
\]

Теперь подставляем вторую точку \( (3; 3) \):

\[
3 = 3k + b \quad \Rightarrow \quad 3 = 3k + k — 1 \quad \Rightarrow \quad 4k = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 1.
\]

Теперь найдём \( b \):

\[
b = 1 — 1 = 0.
\]

Таким образом, уравнение первой прямой:

\[
y = x.
\]

2) Вторая прямая:

Для второй прямой используем точки \( (3; 3) \) и \( (6; -1) \).

Подставляем первую точку \( (3; 3) \):

\[
3 = 3k + b \quad \Rightarrow \quad b = 3 — 3k.
\]

Теперь подставляем вторую точку \( (6; -1) \):

\[
-1 = 6k + b \quad \Rightarrow \quad -1 = 6k + 3 — 3k \quad \Rightarrow \quad 3k = -4 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{4}{3}.
\]

Теперь найдём \( b \):

\[
b = 3 + 4 = 7.
\]

Таким образом, уравнение второй прямой:

\[
y = -\frac{4}{3}x + 7.
\]

3) Третья прямая:

Для третьей прямой используем точки \( (6; -1) \) и \( (2; -2) \).

Подставляем первую точку \( (6; -1) \):

\[
-1 = 6k + b \quad \Rightarrow \quad b = -1 — 6k.
\]

Теперь подставляем вторую точку \( (2; -2) \):

\[
-2 = 2k + b \quad \Rightarrow \quad -2 = 2k — 1 — 6k \quad \Rightarrow \quad -2 + 1 = -4k \quad \Rightarrow \quad 4k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{4}.
\]

Теперь найдём \( b \):

\[
b = -1 — \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}.
\]

Таким образом, уравнение третьей прямой:

\[
y = \frac{1}{4}x — \frac{5}{2}.
\]

4) Четвёртая прямая:

Для четвёртой прямой используем точки \( (-1; -1) \) и \( (2; -2) \).

Подставляем первую точку \( (-1; -1) \):

\[
-1 = -k + b \quad \Rightarrow \quad b = k — 1.
\]

Теперь подставляем вторую точку \( (2; -2) \):

\[
-2 = 2k + b \quad \Rightarrow \quad -2 = 2k + k — 1 \quad \Rightarrow \quad 3k = -1 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{3}.
\]

Теперь найдём \( b \):

\[
b = -\frac{4}{3}.
\]

Таким образом, уравнение четвёртой прямой:

\[
y = -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3}.
\]

5) Система неравенств:

После преобразования прямых, система неравенств будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{cases}
y < x, \quad y — x < 0, \\
y < -\frac{4}{3}x + 7, \quad 3y + 4x < 21, \\ y > \frac{1}{4}x — \frac{5}{2}, \quad 4y — x > -10, \\
y > -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3}, \quad 3y + x > -4.
\end{cases}
\]

Ответ:

\[
y — x < 0, \quad 3y + 4x < 21, \quad 4y — x > -10, \quad 3y + x > -4.
\]