ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 573 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте системой неравенств:

а) треугольник с вершинами (0; 5), (—4; 0) и (4; 0);

б) четырёхугольник с вершинами (-1; -1); (3; 3), (6; —1) и (2; —2).

Задать системой неравенств:

а) (0; 5); (–4; 0); (4; 0);

Первая прямая:
$5 = 0k + b, \quad b = 5$
$0 = -4k + b, \quad b = 4k$
$4k = 5, \quad k = \frac{5}{4} = 1{,}25$

Вторая прямая:
$5 = 0k + b, \quad b = 5$
$0 = 4k + b, \quad b = -4k$
$-4k = 5, \quad k = -\frac{5}{4} = -1{,}25$

Третья прямая:
$0 = -4k + b, \quad b = 4k$
$0 = 4k + b, \quad 0 = 4k + 4k$
$8k = 0, \quad k = 0, \quad b = 0$

Система неравенств:
$y < \frac{5}{4}x + 5,\quad 4y — 5x < 20$
$y < -\frac{5}{4}x + 5,\quad 4y + 5x < 20$

Ответ:

$$\begin{cases} 4y — 5x < 20 \\ 4y + 5x < 20 \\ y > 0 \end{cases}$$

б) (–1; –1); (3; 3);
(6; –1); (2; –2);

Первая прямая:
$-1 = -k + b, \quad b = k — 1$
$3 = 3k + b, \quad 3 = 3k + k — 1$
$4k = 4, \quad k = 1, \quad b = 1 — 1 = 0$

Вторая прямая:
$3 = 3k + b, \quad b = 3 — 3k$
$-1 = 6k + b, \quad -1 = 6k + 3 — 3k$
$3k = -4, \quad k = -\frac{4}{3}, \quad b = 3 + 4 = 7$

Третья прямая:
$-1 = 6k + b, \quad b = -1 — 6k$
$-2 = 2k + b, \quad -2 = 2k — 1 — 6k$
$4k = 1, \quad k = \frac{1}{4}, \quad b = -1 — \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$

Четвёртая прямая:
$-1 = -k + b, \quad b = k — 1$
$-2 = 2k + b, \quad -2 = 2k + k — 1$
$3k = -1, \quad k = -\frac{1}{3}, \quad b = -\frac{4}{3}$

Система неравенств:
$y < x, \quad y — x < 0$
$y < -\frac{4}{3}x + 7, \quad 3y + 4x < 21$
$y > \frac{1}{4}x — \frac{5}{2}, \quad 4y — x > -10$
$y > -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3}, \quad 3y + x > -4$

Ответ:

$$y < x, \quad y — x < 0$$

а) Даны точки: (0; 5), (–4; 0), (4; 0)

Найдем уравнения трёх прямых, проходящих через пары этих точек. Каждая прямая будет в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — свободный член.

Первая прямая — через точки (0; 5) и (–4; 0):
Подставим (0; 5):
$5 = 0 \cdot k + b \Rightarrow b = 5$
Подставим (–4; 0):
$0 = -4k + 5 \Rightarrow 4k = 5 \Rightarrow k = \frac{5}{4}$
Уравнение: $y = \frac{5}{4}x + 5$

Вторая прямая — через точки (0; 5) и (4; 0):
Подставим (0; 5):
$b = 5$
Подставим (4; 0):
$0 = 4k + 5 \Rightarrow 4k = -5 \Rightarrow k = -\frac{5}{4}$
Уравнение: $y = -\frac{5}{4}x + 5$

Третья прямая — через точки (–4; 0) и (4; 0):
Обе точки имеют $y = 0$, значит это горизонтальная прямая:
$y = 0$

Теперь определим направление неравенств. Выберем точку внутри треугольника, например (0; 1).

Подставим её в каждое уравнение:

1. В первую прямую:
   $1 < \frac{5}{4} \cdot 0 + 5 = 5 \Rightarrow y < \frac{5}{4}x + 5$
2. Во вторую прямую:
   $1 < -\frac{5}{4} \cdot 0 + 5 = 5 \Rightarrow y < -\frac{5}{4}x + 5$
3. В третью прямую:
   $1 > 0 \Rightarrow y > 0$

Система неравенств:

$$\begin{cases} y < \frac{5}{4}x + 5 \\ y < -\frac{5}{4}x + 5 \\ y > 0 \end{cases}$$

Умножим первое и второе неравенства на 4:

$$\begin{cases} 4y — 5x < 20 \\ 4y + 5x < 20 \\ y > 0 \end{cases}$$

Ответ:

$$\begin{cases} 4y — 5x < 20 \\ 4y + 5x < 20 \\ y > 0 \end{cases}$$

б) Даны точки: (–1; –1), (3; 3), (6; –1), (2; –2)

Найдём уравнения четырёх прямых по парам точек.

Первая прямая — через (–1; –1) и (3; 3):
Подставим (–1; –1):
$-1 = -k + b \Rightarrow b = k — 1$
Подставим (3; 3):
$3 = 3k + (k — 1) = 4k — 1 \Rightarrow 4k = 4 \Rightarrow k = 1,\ b = 0$
Уравнение: $y = x$

Проверка точки (0; –1):
$-1 < 0 \Rightarrow y < x$

Вторая прямая — через (3; 3) и (6; –1):
Подставим (3; 3):
$3 = 3k + b \Rightarrow b = 3 — 3k$
Подставим (6; –1):
$-1 = 6k + b = 6k + 3 — 3k = 3k + 3 \Rightarrow 3k = -4 \Rightarrow k = -\frac{4}{3},\ b = 3 + 4 = 7$
Уравнение: $y = -\frac{4}{3}x + 7$

Проверка точки (0; 0):
$0 < 7 \Rightarrow y < -\frac{4}{3}x + 7$

Третья прямая — через (6; –1) и (2; –2):
Подставим (6; –1):
$-1 = 6k + b \Rightarrow b = -1 — 6k$
Подставим (2; –2):
$-2 = 2k + (-1 — 6k) = -4k — 1 \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4},\ b = -1 — \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$
Уравнение: $y = \frac{1}{4}x — \frac{5}{2}$

Проверка точки (0; –3):
$-3 < -\frac{5}{2} \Rightarrow y < \dots$ — не подходит
Значит: $y > \frac{1}{4}x — \frac{5}{2}$

Четвёртая прямая — через (2; –2) и (–1; –1):
Подставим (–1; –1):
$-1 = -k + b \Rightarrow b = k — 1$
Подставим (2; –2):
$-2 = 2k + b = 2k + (k — 1) = 3k — 1 \Rightarrow 3k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{3},\ b = -\frac{4}{3}$
Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3}$

Проверка точки (0; –2):
$-2 < -\frac{4}{3} \Rightarrow y < \dots$ — значит нужно: $y > -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3}$

Соберём систему:

$$\begin{cases} y < x \\ y < -\frac{4}{3}x + 7 \\ y > \frac{1}{4}x — \frac{5}{2} \\ y > -\frac{1}{3}x — \frac{4}{3} \end{cases}$$

Преобразуем в стандартный вид:

1. $y — x < 0$
2. $3y + 4x < 21$ — умножили на 3
3. $4y — x > -10$ — умножили на 4
4. $3y + x > -4$ — умножили на 3

Ответ: