ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 571 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Одна прямая проходит через точки (4; 7) и (—2; 4), а другая — через точки (8; 0) и (—6: —7). Докажите, что эти прямые являются границами некоторой полосы. Задайте эту полосу системой неравенств.

Точки прямых:
\[
(4; 7), \, (-2; 4), \, (8; 0), \, (-6; -7);
\]

1) Первая прямая:
\[
7 = 4k + b, \, b = 7 — 4k; \quad 4 = -2k + b, \, 4 = -2k + 7 — 4k;
\]

\[
6k = 3, \, k = \frac{1}{2}, \, b = 7 — 2 = 5;
\]

2) Вторая прямая:
\[
0 = 8k + b, \, b = -8k; \quad -7 = -6k + b, \, -7 = -6k — 8k;
\]

\[
14k = 7, \, k = \frac{1}{2}, \, b = -8 — \frac{1}{2} = -4;
\]

3) Система неравенств:
\[
\begin{cases}
y < \frac{1}{2}x + 5, \\
2y — x < 10, \\
y > \frac{1}{2}x — 4, \\
2y — x > -8.
\end{cases}
\]

Ответ:

\[
\begin{cases}
2y — x < 10, \\
2y — x > -8.
\end{cases}
\]

Даны точки прямых:

\[
(4; 7), (-2; 4), (8; 0), (-6; -7)
\]

1) Первая прямая:

Для первой прямой используем точки \( (4; 7) \) и \( (-2; 4) \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим первую точку \( (4; 7) \):

\[
7 = 4k + b \quad \Rightarrow \quad b = 7 — 4k.
\]

Теперь подставим вторую точку \( (-2; 4) \):

\[
4 = -2k + b \quad \Rightarrow \quad 4 = -2k + (7 — 4k).
\]

Решим для \( k \):

\[
4 = -2k + 7 — 4k \quad \Rightarrow \quad 6k = 3 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2}.
\]

Теперь найдём \( b \):

\[
b = 7 — 4 \cdot \frac{1}{2} = 5.
\]

Таким образом, уравнение первой прямой:

\[
y = \frac{1}{2}x + 5.
\]

2) Вторая прямая:

Для второй прямой используем точки \( (8; 0) \) и \( (-6; -7) \).

Также уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим первую точку \( (8; 0) \):

\[
0 = 8k + b \quad \Rightarrow \quad b = -8k.
\]

Теперь подставим вторую точку \( (-6; -7) \):

\[
-7 = -6k + b \quad \Rightarrow \quad -7 = -6k — 8k.
\]

Решим для \( k \):

\[
-7 = -14k \quad \Rightarrow \quad 14k = 7 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2}.
\]

Теперь найдём \( b \):

\[
b = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4.
\]

Таким образом, уравнение второй прямой:

\[
y = \frac{1}{2}x — 4.
\]

3) Система неравенств:

Нам даны следующие неравенства:

\[
\begin{cases}
y < \frac{1}{2}x + 5, \\
2y — x < 10, \\
y > \frac{1}{2}x — 4, \\
2y — x > -8.
\end{cases}
\]

Решим для упрощённой системы:

Сначала рассмотрим первое и третье неравенства:

\[
y < \frac{1}{2}x + 5 \quad \text{и} \quad y > \frac{1}{2}x — 4.
\]

Эти два неравенства описывают область между двумя прямыми.

Теперь рассмотрим второе и четвёртое неравенства:

\[
2y — x < 10 \quad \text{и} \quad 2y — x > -8.
\]

Эти два неравенства описывают область между двумя прямыми.

Таким образом, система неравенств сводится к:

\[
\begin{cases}
2y — x < 10, \\
2y — x > -8.
\end{cases}
\]

Ответ:

\[
\begin{cases}
2y — x < 10, \\
2y — x > -8.
\end{cases}
\]