ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 564 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3}x + 2y \leq 4, \\
x \geq 2.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
2x — 3y \geq 5, \\
x \leq -1.
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
y \leq -2, \\
3x — 2y \leq 4.
\end{cases}
\]

г)
\[
\begin{cases}
y \geq -1, \\
-2x — y \geq 2.
\end{cases}
\]

a)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3}x + 2y \leq 4, \\
x \geq 2.
\end{cases}
\]

Преобразуем:
\[
2y \leq 4 — \frac{1}{3}x;
\]

\[
y \leq 2 — \frac{1}{6}x.
\]

б)
\[
\begin{cases}
2x — 3y \geq 5, \\
x \leq -1.
\end{cases}
\]

Преобразуем:
\[
3y \leq 2x — 5;
\]

\[
y \leq \frac{2}{3}x — \frac{5}{3}.
\]

в)
\[
\begin{cases}
y \leq -2, \\
3x — 2y \leq 4.
\end{cases}
\]

Преобразуем:
\[
2y \geq 3x — 4;
\]

\[
y \geq \frac{3}{2}x — 2.
\]

г)
\[
\begin{cases}
y \geq -1, \\
-2x — y \geq 2.
\end{cases}
\]

Преобразуем:
\[
y \leq -2x — 2.
\]

а) Система:

$$\begin{cases} \frac{1}{3}x + 2y \leq 4, \\ x \geq 2 \end{cases}$$

1. Неравенство $\frac{1}{3}x + 2y \leq 4$

Преобразуем:

$$2y \leq 4 — \frac{1}{3}x \Rightarrow y \leq 2 — \frac{1}{6}x$$

Построение прямой $y = 2 — \frac{1}{6}x$:

Это уравнение прямой в виде $y = kx + b$, где:

• Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{6}$ — прямая убывает.
• Свободный член $b = 2$ — точка пересечения с осью $y$.

Найдём 2 точки:

• Если $x = 0 \Rightarrow y = 2$
• Если $x = 6 \Rightarrow y = 2 — 1 = 1$

Через точки $(0, 2)$ и $(6, 1)$ строим пунктирную прямую (так как знак нестрогий).

Область:

Так как $y \leq 2 — \frac{1}{6}x$, то заштриховываем область ниже прямой.

2. Неравенство $x \geq 2$

Прямая:

Построим вертикальную прямую $x = 2$:

• Это прямая вертикальная, проходящая через точку $(2, y)$ при любых $y$.

Область:

Заштриховываем вправо от этой прямой, включая саму прямую (так как знак $\geq$).

3. Итоговое решение (пересечение):

Искомая область — это часть плоскости:

• Ниже прямой $y = 2 — \frac{1}{6}x$,
• И правее (или на) прямой $x = 2$.

Т.е. фигура лежит в правой половине координатной плоскости, и под убывающей прямой.

б) Система:

$$\begin{cases} 2x — 3y \geq 5, \\ x \leq -1 \end{cases}$$

1. Неравенство $2x — 3y \geq 5$

Преобразуем:

$$-3y \geq 5 — 2x \Rightarrow y \leq \frac{2}{3}x — \frac{5}{3}$$

Прямая $y = \frac{2}{3}x — \frac{5}{3}$:

• Угловой коэффициент $k = \frac{2}{3}$ — прямая возрастает.
• Свободный член $b = -\frac{5}{3} \approx -1.67$

Найдём 2 точки:

• $x = 0 \Rightarrow y = -\frac{5}{3}$
• $x = 3 \Rightarrow y = \frac{6}{3} — \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$

Через точки $(0, -\frac{5}{3})$ и $(3, \frac{1}{3})$ строим пунктирную прямую (нестрогое).

Область:

Так как $y \leq \frac{2}{3}x — \frac{5}{3}$, заштриховываем вниз от прямой.

2. Неравенство $x \leq -1$

Прямая $x = -1$ — вертикальная, через точку $(-1, y)$ при любых $y$.

Заштриховываем влево от этой прямой.

3. Итоговое решение:

Пересечение — это область:

• Ниже возрастающей прямой,
• Левее вертикальной прямой $x = -1$.

Фигура — в верхнем левом секторе координатной плоскости, под прямой, и левее вертикали.

в) Система:

$$\begin{cases} y \leq -2 \\ 3x — 2y \leq 4 \end{cases}$$

1. Условие: $y \leq -2$

Это горизонтальная прямая $y = -2$

Заштриховываем вниз от этой прямой (включая её).

2. Неравенство: $3x — 2y \leq 4$

Преобразуем:

$$-2y \leq 4 — 3x \Rightarrow 2y \geq 3x — 4 \Rightarrow y \geq \frac{3}{2}x — 2$$

Прямая $y = \frac{3}{2}x — 2$:

• Угловой коэффициент $\frac{3}{2}$ — возрастает.
• Свободный член $-2$ — пересекает ось $y$ в точке $(0, -2)$

Найдём 2 точки:

• $x = 0 \Rightarrow y = -2$
• $x = 2 \Rightarrow y = 3 — 2 = 1$

Прямая проходит через $(0, -2)$ и $(2, 1)$

Область:

$y \geq \frac{3}{2}x — 2$ — заштриховываем над прямой.

3. Итоговое решение:

Пересечение:

• Над прямой $y = \frac{3}{2}x — 2$
• Под прямой $y = -2$

То есть — узкая полоска между возрастающей прямой и горизонтальной прямой $y = -2$.

г) Система:

$$\begin{cases} y \geq -1 \\ -2x — y \geq 2 \end{cases}$$

1. Условие: $y \geq -1$

Горизонтальная прямая $y = -1$

Заштриховываем вверх от неё, включая саму прямую.

2. Неравенство: $-2x — y \geq 2$

Преобразуем:

$$— y \geq 2 + 2x \Rightarrow y \leq -2x — 2$$

Прямая $y = -2x — 2$

• Угловой коэффициент $-2$ — убывает.
• Свободный член $-2$

Найдём 2 точки:

• $x = 0 \Rightarrow y = -2$
• $x = -1 \Rightarrow y = -2(-1) — 2 = 2 — 2 = 0$

Через точки $(0, -2)$ и $(-1, 0)$ строим прямую.

Область:

$y \leq -2x — 2$ — заштриховываем вниз от прямой.

3. Итоговое решение:

Пересечение:

• Ниже прямой $y = -2x — 2$
• Выше прямой $y = -1$

То есть область между горизонтальной прямой и убывающей прямой, где верх — $y = -1$, а низ — кривая с наклоном вниз.