ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 560 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {x^2-xy+6y^2=0, 20-2xy+y^2=0};

б) {4x^2+xy=1, 5xy+y^2=-6}.

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
x^2 — xy — 6y^2 = 0, \\
20 — 2xy + y^2 = 0.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 — xy — 6y^2 = 0;
\]

\[
D = y^2 + 4 \cdot 6y^2 = y^2 + 24y^2 = 25y^2, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{y — 5y}{2} = -2y, \quad x_2 = \frac{y + 5y}{2} = \frac{6y}{2} = 3y.
\]

Первое значение:
\[
20 + 4y^2 + y^2 = 0;
\]

\[
5y^2 = -20, \, y \notin \mathbb{R}.
\]

Второе значение:
\[
20 — 6y^2 + y^2 = 0;
\]

\[
5y^2 = 20, \, y^2 = 4;
\]

\[
y = \pm 2, \quad x = 3y.
\]

Ответ: \((-6; -2); (6; 2).\)

b)
\[
\begin{cases}
4x^2 + xy = 1, \\
5xy + y^2 = -6.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
xy = 1 — 4x^2;
\]

\[
y = \frac{1 — 4x^2}{x}.
\]

Второе уравнение:
\[
5x \cdot \frac{1 — 4x^2}{x} + \frac{(1 — 4x^2)^2}{x^2} = -6;
\]

\[
5x^2(1 — 4x^2) + (1 — 4x^2)^2 = -6x^2;
\]

\[
5x^2 — 20x^4 + 1 — 8x^2 + 16x^4 = -6x^2;
\]

\[
4x^4 — 3x^2 — 1 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 3^2 + 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}, \quad x_2^2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = 1;
\]

\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = \pm 1.
\]

Первое значение:
\[
y = \frac{1 — 4}{-1} = 3.
\]

Второе значение:
\[
y = \frac{1 — 4}{1} = -3.
\]

Ответ: \((-1; 3); (1; -3).\)

a) Решение системы уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — xy — 6y^2 = 0, \\
20 — 2xy + y^2 = 0.
\end{cases}
\]

1. Из первого уравнения:

\[
x^2 — xy — 6y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — y) = 6y^2.
\]

Теперь решим это уравнение относительно \( x \).

Для этого найдём дискриминант для уравнения относительно \( x \):

\[
D = y^2 + 4 \cdot 6y^2 = y^2 + 24y^2 = 25y^2.
\]

Таким образом, у нас есть два корня для \( x \):

\[
x_1 = \frac{y — 5y}{2} = -2y, \quad x_2 = \frac{y + 5y}{2} = \frac{6y}{2} = 3y.
\]

2. Подставляем оба значения \( x_1 \) и \( x_2 \) во второе уравнение.

Для \( x_1 = -2y \):

\[
20 + 4y^2 + y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5y^2 = -20 \quad \Rightarrow \quad y \notin \mathbb{R}.
\]

Для \( x_2 = 3y \):

\[
20 — 6y^2 + y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5y^2 = 20 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 2.
\]

Теперь находим соответствующие значения \( x \):

\[
x = 3y \quad \Rightarrow \quad x = 6 \text{ или } x = -6.
\]

Ответ: \( (-6, -2) \) и \( (6, 2) \).

б) Решение системы уравнений:

\[
\begin{cases}
4x^2 + xy = 1, \\
5xy + y^2 = -6.
\end{cases}
\]

1. Из первого уравнения:

\[
xy = 1 — 4x^2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1 — 4x^2}{x}.
\]

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[
5x \cdot \frac{1 — 4x^2}{x} + \frac{(1 — 4x^2)^2}{x^2} = -6.
\]

Упростим выражение:

\[
5x^2(1 — 4x^2) + (1 — 4x^2)^2 = -6x^2.
\]

Раскроем скобки:

\[
5x^2 — 20x^4 + 1 — 8x^2 + 16x^4 = -6x^2.
\]

Упрощаем:

\[
4x^4 — 3x^2 — 1 = 0.
\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Для этого используем дискриминант:

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25.
\]

Корни уравнения для \( x^2 \):

\[
x_1^2 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}, \quad x_2^2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = 1.
\]

Так как \( x_1^2 = -\frac{1}{4} \) не имеет действительных решений, то остаётся только \( x_2 = \pm 1 \).

3. Подставим \( x = \pm 1 \) в выражение для \( y \):

Для \( x = 1 \):

\[
y = \frac{1 — 4}{1} = -3.
\]

Для \( x = -1 \):

\[
y = \frac{1 — 4}{-1} = 3.
\]

Ответ: \( (-1, 3) \) и \( (1, -3) \).