ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 559 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Опишите с помощью неравенства множество точек, лежащих внутри параболы, проходящей через точки (2; —1), (—1; 5) и (1; —3). если ось симметрии параболы параллельна: а) оси x; б) оси y.

Даны точки параболы:

\((2; -1);\) \((-1; 5);\) \((1; -3);\)

a) Ось симметрии параллельна \(x\):
\[
2 = a — b + c, \, c = 2 — a + b;
\]

\[
1 = 9a — 3b + c, \, c = 1 — 9a + 3b;
\]

\[
2 — a + b = 1 — 9a + 3b;
\]

\[
2b = 8a + 1, \, b = 4a + 0,5;
\]

\[
c = 2 — a + 4a + 0,5;
\]

\[
c = 2,5 + 3a;
\]

\[
-1 = 25a + 5b + c;
\]

\[
-1 = 25a + 5(4a + 0,5) + 2,5 + 3a;
\]

\[
-1 = 25a + 20a + 2,5 + 2,5 + 3a;
\]

\[
48a = -6, \, a = -\frac{1}{8};
\]

\[
b = -0,5a + 0,5 = 0;
\]

\[
c = 2,5 — 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{17}{8};
\]

\[
x < -\frac{1}{8}y^2 + \frac{17}{8}.
\]

Ответ: \(8x + y^2 < 17.\)

б) Ось симметрии параллельна \(y\):
\[
5 = a — b + c, \, c = 5 — a + b;
\]

\[
-3 = a + b + c, \, c = -3 — a — b;
\]

\[
5 — a + b = -3 — a — b;
\]

\[
2b = -8;
\]

\[
b = -4, \, c = 5 — a — 4 = 1 — a;
\]

\[
-1 = 4a + 2b + c;
\]

\[
-1 = 4a — 8 + 1 — a;
\]

\[
3a = 6, \, a = 2;
\]

\[
c = 1 — 2 = -1.
\]

Ответ: \(y > 2x^2 + 4x — 1.\)

Даны точки параболы:

\[
(2; -1), (-1; 5), (1; -3).
\]

a) Ось симметрии параллельна \(x\) (парабола имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\)):

1. Для точки \( (2, -1) \):

\[
y = ax^2 + bx + c \quad \Rightarrow \quad -1 = a(2)^2 +\]

\[b(2) + c \quad \Rightarrow \quad -1 = 4a + 2b + c.
\]

Это первое уравнение.

2. Для точки \( (-1, 5) \):

\[
5 = a(-1)^2 + b(-1) + c \quad \Rightarrow \quad 5 = a — b + c.
\]

Это второе уравнение.

3. Для точки \( (1, -3) \):

\[
-3 = a(1)^2 + b(1) + c \quad \Rightarrow \quad -3 = a + b + c.
\]

Это третье уравнение.

Теперь решим систему из этих трёх уравнений:

1. \( -1 = 4a + 2b + c \)

2. \( 5 = a — b + c \)

3. \( -3 = a + b + c \)

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( c \):

\[
c = 5 — a + b.
\]

Шаг 2: Подставим это в первое и третье уравнения.

В первое уравнение:

\[
-1 = 4a + 2b + (5 — a + b) \quad \Rightarrow \quad -1 = 4a + 2b + 5 — a +\]

\[b \quad \Rightarrow \quad -1 = 3a + 3b + 5 \quad \Rightarrow \quad 3a +\]

\[3b = -6 \quad \Rightarrow \quad a + b = -2.
\]

В третье уравнение:

\[
-3 = a + b + (5 — a + b) \quad \Rightarrow \quad -3 = a + b + 5 — a +\]

\[b \quad \Rightarrow \quad -3 = 2b + 5 \quad \Rightarrow \quad 2b =\]

\[ -8 \quad \Rightarrow \quad b = -4.
\]

Шаг 3: Подставим \( b = -4 \) в \( a + b = -2 \):

\[
a — 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = 2.
\]

Шаг 4: Подставим \( a = 2 \) и \( b = -4 \) в \( c = 5 — a + b \):

\[
c = 5 — 2 — 4 = -1.
\]

Теперь у нас есть значения \( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = -1 \). Уравнение параболы:

\[
y = 2x^2 — 4x — 1.
\]

Ответ: \(8x + y^2 < 17.\)

б) Ось симметрии параллельна \(y\) (парабола имеет вид \(x = ay^2 + by + c\)):

1. Для точки \( (2, -1) \):

\[
2 = a(-1)^2 + b(-1) + c \quad \Rightarrow \quad 2 = a — b + c.
\]

Это первое уравнение.

2. Для точки \( (-1, 5) \):

\[
-1 = a(5)^2 + b(5) + c \quad \Rightarrow \quad -1 = 25a + 5b + c.
\]

Это второе уравнение.

3. Для точки \( (1, -3) \):

\[
1 = a(-3)^2 + b(-3) + c \quad \Rightarrow \quad 1 = 9a — 3b + c.
\]

Это третье уравнение.

Теперь решим систему из этих трёх уравнений:

1. \( 2 = a — b + c \)
2. \( -1 = 25a + 5b + c \)
3. \( 1 = 9a — 3b + c \)

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( c \):

\[
c = 2 — a + b.
\]

Шаг 2: Подставим это в второе и третье уравнения.

Во втором уравнении:

\[
-1 = 25a + 5b + (2 — a + b) \quad \Rightarrow \quad -1 = 25a + 5b +\]

\[2 — a + b \quad \Rightarrow \quad -3 = 24a +\]

\[6b \quad \Rightarrow \quad 4a + b = -1.
\]

В третьем уравнении:

\[
1 = 9a — 3b + (2 — a + b) \quad \Rightarrow \quad 1 = 9a — 3b +\]

\[2 — a + b \quad \Rightarrow \quad 3 = 8a -\]

\[2b \quad \Rightarrow \quad 4a — b = 3.
\]

Шаг 3: Решим систему из двух уравнений:

1. \( 4a + b = -1 \)
2. \( 4a — b = 3 \)

Сложим их:

\[
(4a + b) + (4a — b) = -1 + 3 \quad \Rightarrow \quad 8a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{4}.
\]

Шаг 4: Подставим \( a = \frac{1}{4} \) в \( 4a + b = -1 \):

\[
4 \cdot \frac{1}{4} + b = -1 \quad \Rightarrow \quad 1 + b = -1 \quad \Rightarrow \quad b = -2.
\]

Шаг 5: Подставим \( a = \frac{1}{4} \) и \( b = -2 \) в \( c = 2 — a + b \):

\[
c = 2 — \frac{1}{4} — 2 = -\frac{1}{4}.
\]

Теперь у нас есть значения \( a = \frac{1}{4} \), \( b = -2 \), \( c = -\frac{1}{4} \). Уравнение параболы:

\[
x = \frac{1}{4}y^2 — 2y — \frac{1}{4}.
\]

Ответ: \(y > 2x^2 + 4x — 1.\)