ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 556 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

На сколько областей разбивает график уравнения xy-y+1=0 множество не принадлежащих ему точек координатной плоскости? Определите знак выражения xy-y+1 в каждой из этих областей.

Дано уравнение:

\[xy — y + 1 = 0;\]

\[y(x — 1) = -1;\]

\[y = \frac{1}{1 — x};\]

1) В левой части:

\[xy — y + 1 < 0;\]

2) В средней части:

\[xy — y + 1 > 0;\]

3) В правой части:

\[xy — y + 1 < 0;\]

Ответ: на три части.

На сколько областей разбивает график уравнения

$$xy — y + 1 = 0$$

множество не принадлежащих ему точек координатной плоскости?

Также требуется определить знак выражения $xy — y + 1$ в каждой из этих областей.

Шаг 1. Анализ уравнения

Уравнение:

$$xy — y + 1 = 0$$

Можно сгруппировать:

$$y(x — 1) + 1 = 0$$

Вынесем $y$ за скобки:

$$y(x — 1) = -1 \tag{1}$$

Это — уравнение кривой второго порядка, а именно — гипербола.

Шаг 2. Построим уравнение гиперболы

$$y(x — 1) = -1 \Rightarrow y = \frac{-1}{x — 1} \tag{2}$$

Это уравнение гиперболы:

• Она не определена при $x = 1$ (знаменатель не может быть ноль)
• Значит, вертикальная прямая $x = 1$ — асимптота
• Также, при $x \to \infty$, $y \to 0$, значит горизонтальная асимптота — $y = 0$

Шаг 3. Какие области формирует график?

График $y = \frac{-1}{x — 1}$ — гипербола, состоящая из двух ветвей:

• Одна в левом верхнем углу
• Другая в правом нижнем углу

Такой график разделяет координатную плоскость на 3 непересекающихся области, если не считать сам график:

1. Область выше обеих ветвей
2. Область между ветвями
3. Область ниже обеих ветвей

Это можно понять и без рисунка, ориентируясь на поведение гиперболы:

• Она непрерывна на двух промежутках: $x < 1$ и $x > 1$
• Каждая ветвь стремится к своим асимптотам
• Она как бы «огибает» точку разрыва $x = 1$, создавая три замкнутые области, если сам график не входит

Шаг 4. Ответ на первый вопрос

График разбивает множество непринадлежащих ему точек на 3 области

Шаг 5. Определим знак выражения $xy — y + 1$ в каждой из этих областей

Напомним:

$$xy — y + 1 = 0 \quad \text{на графике}$$

Мы хотим определить знак выражения:

$$f(x, y) = xy — y + 1$$

То есть:

• Где $f(x, y) > 0$
• Где $f(x, y) < 0$

Подход: берём по одной точке из каждой области и подставляем

Область I: слева от асимптоты $x = 1$, сверху графика

Выбираем точку $A(-1,\ 2)$

Подставим:

$$xy — y + 1 = (-1)\cdot 2 — 2 + 1 = -2 — 2 + 1 = -3 < 0$$

Значение отрицательное

Область II: между ветвями гиперболы (между их «лапами»)

Выбираем точку $B(0,\ 0)$

Подставим:

$$0 \cdot 0 — 0 + 1 = 1 > 0$$

Значение положительное

Область III: справа от асимптоты, ниже графика

Выбираем точку $C(3,\ -2)$

Подставим:

$$3 \cdot (-2) — (-2) + 1 = -6 + 2 + 1 = -3 < 0$$

Значение отрицательное

Шаг 6. Итог

1. Сколько областей?

График уравнения $xy — y + 1 = 0$ делит координатную плоскость (без самого графика) на 3 области

2. Знаки выражения $xy — y + 1$:

• Внутренняя область (между ветвями): $f(x, y) > 0$
• Внешние области (слева сверху и справа снизу): $f(x, y) < 0$
• На графике: $f(x, y) = 0$

Ответ:

1. График уравнения разбивает множество непринадлежащих ему точек координатной плоскости на 3 области.
2. Знак выражения $xy — y + 1$:
   — в одной области он положительный,
   — в двух других — отрицательный.