ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 549 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {2x^2-y^2=4, x^2+3y^2-5x=6};

б) {5x-y-2=0, x^2-2xy+y^2=4}.

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 4 \\
x^2 + 3y^2 — 5x = 6
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
y^2 = 2x^2 — 4;
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 + 3(2x^2 — 4) — 5x = 6; \quad x^2 + 6x^2 — 12 — 5x =\]

\[6; \quad 7x^2 — 5x — 18 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 7 \cdot 18 = 25 + 504 = 529, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 23}{2 \cdot 7} = -\frac{9}{7}, \quad x_2 =\]

\[\frac{5 + 23}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2;
\]

Первое значение

\[
y^2 = 2 \cdot \left(-\frac{9}{7}\right)^2 — 4; \quad y^2 =\]

\[\frac{81}{49} — 4; \quad y \notin \Phi;
\]

Второе значение:

\[
y^2 = 2 \cdot 2^2 — 4 = 4; \quad y = \pm \sqrt{4} = \pm 2;
\]

Ответ:

\[
(2; -2); \quad (2; 2);
\]

b)
\[
\begin{cases}
5x — y — 2 = 0 \\
x^2 — 2xy + y^2 = 4
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
(x — y)^2 = 4; \quad x — y = \pm 2;
\]

\[
y_1 = x + 2; \quad y_2 = x — 2;
\]

Первое значение:
\[
5x — (x + 2) — 2 = 0; \quad 5x — x — 2 — 2 = 0; \quad 4x =\]

\[4; \quad x = 1; \quad y = 1 + 2 = 3;
\]

Второе значение:
\[
5x — (x — 2) — 2 = 0; \quad 5x — x + 2 — 2 = 0; \quad 4x =\]

\[0; \quad x = 0; \quad y = 0 — 2 = -2;
\]

Ответ:

\[
(1; 3); \quad (0; -2).
\]

a) Решение системы уравнений:

Рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 4 \\
x^2 + 3y^2 — 5x = 6
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
y^2 = 2x^2 — 4.
\]

Подставим это во второе уравнение:

\[
x^2 + 3(2x^2 — 4) — 5x = 6.
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
x^2 + 6x^2 — 12 — 5x = 6 \quad \Rightarrow \quad 7x^2 — 5x — 18 = 0.
\]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-18) = 25 + 504 = 529.
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{529}}{2 \cdot 7} = \frac{5 — 23}{14} = -\frac{9}{7}, \quad x_2 = \frac{5 + 23}{14} = \frac{28}{14} = 2.
\]

Подставим найденные значения \( x \) в первое уравнение.

Для \( x_1 = -\frac{9}{7} \):

\[
y^2 = 2 \cdot \left(-\frac{9}{7}\right)^2 — 4 = \frac{81}{49} — 4 = \frac{81}{49} — \frac{196}{49} = -\frac{115}{49}.
\]

Так как \( y^2 \) не может быть отрицательным, \( y \) не существует для \( x_1 = -\frac{9}{7} \).

Для \( x_2 = 2 \):

\[
y^2 = 2 \cdot 2^2 — 4 = 4 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{4} = \pm 2.
\]

Ответ: \( (2, -2) \) и \( (2, 2) \).

б) Решение системы уравнений:

Рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
5x — y — 2 = 0 \\
x^2 — 2xy + y^2 = 4
\end{cases}
\]

Второе уравнение можно представить как:

\[
(x — y)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x — y = \pm 2.
\]

Таким образом, у нас есть два случая для \( y \):

1. \( y_1 = x + 2 \)
2. \( y_2 = x — 2 \)

Теперь подставим эти выражения для \( y \) в первое уравнение.

1. Для \( y_1 = x + 2 \):

Подставим в первое уравнение:

\[
5x — (x + 2) — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x — x — 2 — 2 =\]

\[0 \quad \Rightarrow \quad 4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1.
\]

Теперь найдем \( y \):

\[
y_1 = 1 + 2 = 3.
\]

Таким образом, одна из точек решения: \( (1, 3) \).

2. Для \( y_2 = x — 2 \):

Подставим в первое уравнение:

\[
5x — (x — 2) — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x — x + 2 — 2 =\]

\[0 \quad \Rightarrow \quad 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.
\]

Теперь найдем \( y \):

\[
y_2 = 0 — 2 = -2.
\]

Таким образом, вторая точка решения: \( (0, -2) \).

Ответ: \( (1, 3) \) и \( (0, -2) \).