ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 539 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

а) {3(1/3 x-1)?-1/2(2x+1), 2x-3?x+4};

б) {x^2-2x?1, -x^2+6x?9}.

Решить систему неравенств:

a)
\[
3 \left( \frac{1}{3}x — 1 \right) \leq -\frac{1}{2}(2x + 1); \quad 2x — 3 \geq x + 4
\]

Первое неравенство:
\[
x — 3 \leq -x — 0.5; \quad 2x \leq 2.5, \, x \leq 1.25;
\]

Второе неравенство:
\[
2x — x \geq 4 + 3, \, x \geq 7;
\]

Ответ: решений нет.

б)
\[
\begin{cases}
x^2 — 2x \geq 1 \\
-x^2 + 6x \leq 9
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[
x^2 — 2x — 1 \geq 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2};
\]

\[
x \leq 1 — \sqrt{2}, \, x \geq 1 + \sqrt{2};
\]

Второе неравенство:

\[
-x^2 + 6x \leq 9; \quad (x — 3)^2 \geq 0, \, x \in \mathbb{R};
\]

Ответ:

\[
(-\infty; 1 — \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}; +\infty).
\]

a) Решение системы неравенств:

Рассмотрим систему:

\[
3 \left( \frac{1}{3}x — 1 \right) \leq -\frac{1}{2}(2x + 1); \quad 2x — 3 \geq x + 4
\]

Первое неравенство:

\[
3 \left( \frac{1}{3}x — 1 \right) \leq -\frac{1}{2}(2x + 1)
\]

Раскроем скобки:

\[
x — 3 \leq -x — 0.5
\]

Переносим все члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую:

\[
x + x \leq -0.5 + 3
\]

\[
2x \leq 2.5
\]

Разделим обе стороны на 2:

\[
x \leq 1.25
\]

Второе неравенство:

\[
2x — 3 \geq x + 4
\]

Переносим все члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую:

\[
2x — x \geq 4 + 3
\]

\[
x \geq 7
\]

Ответ для системы:

Первое неравенство даёт \( x \leq 1.25 \), а второе \( x \geq 7 \). Поскольку \( x \) не может одновременно быть меньше или равно 1.25 и больше или равно 7, то решений нет.

Ответ: решений нет.

б) Решение системы неравенств:

Рассмотрим систему:

\[
\begin{cases}
x^2 — 2x \geq 1 \\
-x^2 + 6x \leq 9
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\[
x^2 — 2x \geq 1
\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[
x^2 — 2x — 1 \geq 0
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8
\]

Корни уравнения:

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
\]

Таким образом, неравенство \( x^2 — 2x — 1 \geq 0 \) выполняется для:

\[
x \leq 1 — \sqrt{2}, \quad x \geq 1 + \sqrt{2}
\]

Второе неравенство:

\[
-x^2 + 6x \leq 9
\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[
-x^2 + 6x — 9 \leq 0
\]

Умножим на \(-1\), меняя знак неравенства:

\[
x^2 — 6x + 9 \geq 0
\]

Распишем это как квадрат:

\[
(x — 3)^2 \geq 0
\]

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то неравенство выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ для системы:

Пересекаем множества решений первого и второго неравенств:

\[
(-\infty; 1 — \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}; +\infty).
\]