ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 537 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {2x^2+xy=6, 3x^2+xy-x=6};

б) {3x^2-2y^2=25, x^2-y^2+y=5}.

Решить систему уравнений:

a) \((2x^2 + xy = 6, 3x^2 + xy — x = 6);\)

Первое уравнение:

\(xy = 6 — 2x^2;\)

Второе уравнение:

\(3x^2 + 6 — 2x^2 — x = 6;\)

\(x^2 — x = 0, x(x — 1) = 0;\)

\(x_1 = 0, x_2 = 1;\)

Первое значение:

\(0 + 0 = 6, y \in \emptyset;\)

Второе значение:

\(2 + y = 6, y = 4;\)

Ответ: \((1; 4).\)

6) \(\left(\frac{3x^2 — 2y^2}{x^2 — y^2 + y} = 25\right);\)

Первое уравнение:

\(3x^2 = 2y^2 + 25;\)

\(x^2 = \frac{2y^2 + 25}{3};\)

Второе уравнение:

\(\frac{2y^2 + 25}{3} — y^2 + y = 5;\)

\(2y^2 + 25 — 3y^2 + 3y = 15;\)

\(y^2 — 3y — 10 = 0;\)

\(D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:}\)

\(y_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \text{ и } y_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;\)

Первое значение:

\(x^2 = \frac{8 + 25}{3} = 11, x = \pm \sqrt{11};\)

Второе значение:

\(x^2 = \frac{50 + 25}{3} = 25, x = \pm \sqrt{25} = \pm 5;\)

Ответ: \((-\sqrt{11}; -2), (\sqrt{11}; -2), (-5; 5), (5; 5).\)

a) Решение системы уравнений:

Рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x^2 + xy = 6, \\
3x^2 + xy — x = 6.
\end{cases}
\]

Шаг 1: Подставим выражение для \( xy \) из первого уравнения во второе.

Из первого уравнения выразим \( xy \):

\[
xy = 6 — 2x^2.
\]

Подставим это в второе уравнение:

\[
3x^2 + (6 — 2x^2) — x = 6.
\]

Шаг 2: Упростим второе уравнение.

Упростим полученное уравнение:

\[
3x^2 + 6 — 2x^2 — x = 6.
\]

\[
(3x^2 — 2x^2) — x + 6 = 6,
\]

\[
x^2 — x + 6 = 6.
\]

Теперь вычитаем 6 с обеих сторон:

\[
x^2 — x = 0.
\]

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

Решим полученное квадратное уравнение:

\[
x(x — 1) = 0.
\]

Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 1 \).

Шаг 4: Подставим значения \( x \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \).

1. Для \( x = 0 \):

Подставляем \( x = 0 \) в первое уравнение:

\[
2(0)^2 + 0 \cdot y = 6,
\]

\[
0 = 6.
\]

Это противоречие, значит, решения для \( x = 0 \) не существует.

2. Для \( x = 1 \):

Подставляем \( x = 1 \) в первое уравнение:

\[
2(1)^2 + 1 \cdot y = 6,
\]

\[
2 + y = 6.
\]

Решим для \( y \):

\[
y = 6 — 2 = 4.
\]

Ответ для этой системы уравнений:

\[
(1; 4).
\]

6) Решение системы уравнений:

Рассмотрим систему уравнений:

\[
\frac{3x^2 — 2y^2}{x^2 — y^2 + y} = 25.
\]

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на знаменатель.

Умножим обе части на \( x^2 — y^2 + y \), чтобы избавиться от дроби:

\[
3x^2 — 2y^2 = 25(x^2 — y^2 + y).
\]

Шаг 2: Раскроем скобки на правой части уравнения.

Раскроем скобки:

\[
3x^2 — 2y^2 = 25x^2 — 25y^2 + 25y.
\]

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[
3x^2 — 2y^2 — 25x^2 + 25y^2 — 25y = 0.
\]

Упрощаем:

\[
-22x^2 + 23y^2 — 25y = 0.
\]

Это уравнение с двумя переменными, однако для продолжения решения выразим \( x^2 \) через \( y^2 \) из другого уравнения.

Шаг 4: Подставим \( x^2 \) из первого уравнения.

Из первого уравнения:

\[
3x^2 = 2y^2 + 25,
\]

\[
x^2 = \frac{2y^2 + 25}{3}.
\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[
\frac{2y^2 + 25}{3} — y^2 + y = 5.
\]

Шаг 5: Умножим на 3, чтобы избавиться от знаменателя.

Умножаем обе части уравнения на 3:

\[
2y^2 + 25 — 3y^2 + 3y = 15.
\]

Упрощаем:

\[
-y^2 + 3y + 25 = 15.
\]

Теперь вычитаем 15 с обеих сторон:

\[
-y^2 + 3y + 10 = 0.
\]

Шаг 6: Умножим уравнение на -1.

Умножим все на -1:

\[
y^2 — 3y — 10 = 0.
\]

Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта.

Шаг 7: Вычислим дискриминант.

Дискриминант:

\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.
\]

Шаг 8: Найдем корни уравнения.

Корни уравнения:

\[
y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 7}{2} = -2,
\]

\[
y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5.
\]

Шаг 9: Подставим найденные значения \( y \) в выражение для \( x^2 \).

1. Для \( y = -2 \):

Подставляем \( y = -2 \) в выражение для \( x^2 \):

\[
x^2 = \frac{2(-2)^2 + 25}{3} = \frac{8 + 25}{3} = \frac{33}{3} = 11,
\]

\[
x = \pm \sqrt{11}.
\]

2. Для \( y = 5 \):

Подставляем \( y = 5 \) в выражение для \( x^2 \):

\[
x^2 = \frac{2(5)^2 + 25}{3} = \frac{50 + 25}{3} = \frac{75}{3} = 25,
\]

\[
x = \pm 5.
\]

Ответ:

\[
(-\sqrt{11}; -2), (\sqrt{11}; -2), (-5; 5), (5; 5).
\]