ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 537 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}2x^2+xy=6\\ 3x^2+xy-x=6\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}3x^2-2y^2=25\\ x^2-y^2+y=5\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} 2x^2 + xy = 6 \\ 3x^2 + xy — x = 6 \end{cases};$$

Первое уравнение:
$xy = 6 — 2x^2;$

Второе уравнение:
$3x^2 + 6 — 2x^2 — x = 6;$
$x^2 — x = 0,\ x(x — 1) = 0;$
$x_1 = 0,\ x_2 = 1;$

Первое значение:
$0 + 0 = 6,\ y \in \varnothing;$

Второе значение:
$2 + y = 6,\ y = 4;$

Ответ: $(1; 4).$

б)

$$\begin{cases} 3x^2 — 2y^2 = 25 \\ x^2 — y^2 + y = 5 \end{cases};$$

Первое уравнение:
$3x^2 = 2y^2 + 25;$
$x^2 = \frac{2y^2 + 25}{3};$

Второе уравнение:
$\frac{2y^2 + 25}{3} — y^2 + y = 5;$
$2y^2 + 25 — 3y^2 + 3y = 15;$
$-y^2 + 3y + 10 = 0;$
$y^2 — 3y — 10 = 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,$ тогда:
$y_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;$

Первое значение:
$x^2 = \frac{8 + 25}{3} = 11,\ x = \pm\sqrt{11};$

Второе значение:
$x^2 = \frac{50 + 25}{3} = 25,\ x = \pm\sqrt{25} = \pm5;$

Ответ: $(-\sqrt{11}; -2); (\sqrt{11}; -2); (-5; 5); (5; 5).$

а)

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 2x^2 + xy = 6 \\ 3x^2 + xy — x = 6 \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим $xy$ из первого уравнения

Первое уравнение:

$$2x^2 + xy = 6$$

Вычтем $2x^2$ из обеих частей:

$$xy = 6 — 2x^2 \tag{1}$$

Шаг 2. Подставим $xy$ из (1) во второе уравнение

Второе уравнение:

$$3x^2 + xy — x = 6$$

Подставим вместо $xy$:

$$3x^2 + (6 — 2x^2) — x = 6$$

Раскроем скобки:

$$3x^2 + 6 — 2x^2 — x = 6$$

Упростим:

$$x^2 — x + 6 = 6$$

Вычтем 6 из обеих частей:

$$x^2 — x = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x — 1) = 0$$

Шаг 3. Найдём корни

$$x_1 = 0,\quad x_2 = 1$$

Шаг 4. Найдём соответствующие $y$

Для $x = 0$:

Подставим в первое уравнение:

$$2 \cdot 0^2 + 0 \cdot y = 6 \Rightarrow 0 + 0 = 6 \Rightarrow 0 = 6$$

Противоречие ⇒ такого $y$ не существует.

Значит, решения с $x = 0$ нет.

Для $x = 1$:

Подставим в первое уравнение:

$$2 \cdot 1^2 + 1 \cdot y = 6 \Rightarrow 2 + y = 6 \Rightarrow y = 4$$

Ответ к пункту а:

$$(1;\ 4)$$

б)

Решить систему:

$$\begin{cases} 3x^2 — 2y^2 = 25 \\ x^2 — y^2 + y = 5 \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим $x^2$ из первого уравнения

$$3x^2 = 2y^2 + 25 \Rightarrow x^2 = \frac{2y^2 + 25}{3} \tag{2}$$

Шаг 2. Подставим выражение (2) во второе уравнение

Второе уравнение:

$$x^2 — y^2 + y = 5$$

Подставим:

$$\frac{2y^2 + 25}{3} — y^2 + y = 5$$

Приведём к общему знаменателю (умножим всё на 3):

$$2y^2 + 25 — 3y^2 + 3y = 15$$

Упростим:

$$— y^2 + 3y + 25 = 15$$

Вычтем 15:

$$— y^2 + 3y + 10 = 0$$

Домножим на -1:

$$y^2 — 3y — 10 = 0 \tag{3}$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение (3)

$$y^2 — 3y — 10 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

Корни:

$$y_1 = \frac{3 — \sqrt{49}}{2} = \frac{3 — 7}{2} = -2,\quad y_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

Шаг 4. Найдём соответствующие $x$

Для $y = -2$:

Подставим в (2):

$$x^2 = \frac{2(-2)^2 + 25}{3} = \frac{8 + 25}{3} = \frac{33}{3} = 11 \Rightarrow x = \pm\sqrt{11}$$

Для $y = 5$:

$$x^2 = \frac{2 \cdot 25 + 25}{3} = \frac{50 + 25}{3} = \frac{75}{3} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$$

Ответ к пункту б:

$$(-\sqrt{11};\ -2),\ (\sqrt{11};\ -2),\ (-5;\ 5),\ (5;\ 5)$$

Итоговый ответ:

а) $(1;\ 4)$

б) $(-\sqrt{11};\ -2),\ (\sqrt{11};\ -2),\ (-5;\ 5),\ (5;\ 5)$