ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 527 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Одновременно из пункта A в одном и том же направлении выехали две машины со скоростями 80 км/ч и 100 км/ч. Через час в том же направлении из того же пункта выехала третья машина, которая догнала вторую машину через 3 ч после того, как догнала первую. Найдите скорость третьей машины.

Зададим переменные:

\(x \text{ км/ч} — \text{скорость третьей;}\)

\(t \text{ ч} — \text{время встречи первой;}\)

1) Первое уравнение:

\(tx = (t + 1) \cdot 80;\)

\(tx = 80t + 80;\)

2) Второе уравнение:

\((t + 3)x = (t + 3 + 1) \cdot 100;\)

\(tx + 3x = 100t + 400;\)

\(80t + 80 + 3x = 100t + 400;\)

\(20t = 3x — 320, t = \frac{3x — 320}{20};\)

3) Первое уравнение:

\(\frac{3x — 320}{20} \cdot x = 80 \cdot \frac{3x — 320}{20} + 80;\)

\(3x^2 — 320x = 240x — 25600 + 1600;\)

\(3x^2 — 560x + 24000 = 0;\)

\(D = 560^2 — 4 \cdot 3 \cdot 24000 = 313600 — 288000 = 25600, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{560 — 160}{2 \cdot 3} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3} \text{ и } x_2 =\)

\(\frac{560 + 160}{2 \cdot 3} = \frac{720}{6} = 120;\)

\(t_1 = \frac{200 — 320}{20} = -\frac{120}{20} = -6 \text{ и } t_2 =\)

\(\frac{200 + 320}{20} = \frac{520}{20} = 26;\)

Ответ: 120 км/ч.

Заданы переменные:

\( x \) км/ч — скорость третьего автомобиля, \( t \) ч — время встречи первого автомобиля.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
tx = (t + 1) \cdot 80.
\]

Раскроем скобки:
\[
tx = 80t + 80.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
(t + 3)x = (t + 3 + 1) \cdot 100.
\]

Раскроем скобки:
\[
tx + 3x = 100t + 400.
\]

Подставим \( tx = 80t + 80 \) в это уравнение:
\[
80t + 80 + 3x = 100t + 400.
\]

Упростим:
\[
20t = 3x — 320, \quad t = \frac{3x — 320}{20}.
\]

3) Подставим \( t = \frac{3x — 320}{20} \) в первое уравнение:

Подставим \( t \) в уравнение \( tx = 80t + 80 \):
\[
\frac{3x — 320}{20} \cdot x = 80 \cdot \frac{3x — 320}{20} + 80.
\]

Упростим:
\[
3x^2 — 320x = 240x — 25600 + 1600.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
3x^2 — 560x + 24000 = 0.
\]

4) Вычисление дискриминанта:

Для уравнения \( 3x^2 — 560x + 24000 = 0 \) вычислим дискриминант:
\[
D = (-560)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 24000 = 313600 — 288000 = 25600.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{560 — 160}{2 \cdot 3} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}, \quad x_2 = \frac{560 + 160}{2 \cdot 3} = \frac{720}{6} = 120.
\]

5) Находим \( t \):

Подставим \( x_2 = 120 \) в выражение для \( t \):
\[
t_1 = \frac{200 — 320}{20} = -\frac{120}{20} = -6, \quad t_2 = \frac{200 + 320}{20} = \frac{520}{20} = 26.
\]

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем \( t_2 = 26 \).

Ответ: Скорость третьего автомобиля составляет \( 120 \) км/ч.