ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 526 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Расстояние в 360 км легковой автомобиль проехал на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой автомобиль затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.

Зададим переменные:

\(x \text{ км/ч} — \text{скорость легкового;}\)

\(y \text{ км/ч} — \text{скорость грузового;}\)

1) Первое уравнение:

\(\frac{360}{x} — 2 = \frac{360}{y};\)

\(\frac{180}{x} — 1 = \frac{180}{y};\)

\(180y — xy = 180x;\)

\(y(180 — x) = 180x;\)

\(y = \frac{180x}{180 — x};\)

2) Второе уравнение:

\(\frac{360}{x + 30} — 1 = \frac{360}{y + 30};\)

\(\frac{360}{x + 30} — 1 = \frac{360}{180x — x + 30};\)

\(\frac{360 — x — 30}{x + 30} = 360 \cdot \frac{180x + 5400 — 30x}{180x + 5400};\)

\(\frac{330 — x}{x + 30} = \frac{360(180 — x)}{x + 30};\)

\(x + 30 = 150x + 5400;\)

\((330 — x)(5x + 180) = 12(180 — x)(x + 30);\)

\(1470x + 59400 — 5x^2 = 1800x + 64800 — 12x^2;\)

\(7x^2 — 330x — 5400 = 0;\)

\(D = 330^2 + 4 \cdot 7 \cdot 5400 = 108900 + 151200 = 260100, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{330 — 510}{2 \cdot 7} = \frac{-180}{14} = -\frac{90}{7} \text{ и } x_2 =\)

\(\frac{330 + 510}{2 \cdot 7} = \frac{840}{14} = 60;\)

\(y_1 = \frac{180 \cdot 60}{180 — 60} = \frac{10800}{120} = 90 \text{ и } y_2 =\)

\(\frac{180 \cdot 60}{180 — (-60)} = \frac{10800}{240} = 45;\)

Ответ: 60 км/ч и 90 км/ч.

Заданы переменные:

\( x \) км/ч — скорость легкового автомобиля, \( y \) км/ч — скорость грузового автомобиля.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
\frac{360}{x} — 2 = \frac{360}{y}.
\]

Переносим все в одну сторону:
\[
\frac{180}{x} — 1 = \frac{180}{y}.
\]

Умножим обе стороны на \( xy \) для избавления от дробей:
\[
180y — xy = 180x.
\]

Упростим:
\[
y(180 — x) = 180x.
\]

Получаем:
\[
y = \frac{180x}{180 — x}.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
\frac{360}{x + 30} — 1 = \frac{360}{y + 30}.
\]

Умножим обе стороны на \( (x + 30)(y + 30) \) для избавления от дробей:
\[
\frac{360}{x + 30} — 1 = \frac{360}{180x — x + 30}.
\]

Раскроем скобки:
\[
\frac{360 — x — 30}{x + 30} = 360 \cdot \frac{180x + 5400 — 30x}{180x + 5400}.
\]

Упростим:
\[
\frac{330 — x}{x + 30} = \frac{360(180 — x)}{x + 30}.
\]

Умножим обе стороны на \( (x + 30) \):
\[
330 — x = 360(180 — x).
\]

Раскроем скобки:
\[
x + 30 = 150x + 5400.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
(330 — x)(5x + 180) = 12(180 — x)(x + 30).
\]

3) Упрощение уравнения:

Раскроем все скобки:
\[
1470x + 59400 — 5x^2 = 1800x + 64800 — 12x^2.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
7x^2 — 330x — 5400 = 0.
\]

4) Вычисление дискриминанта:

Для уравнения \( 7x^2 — 330x — 5400 = 0 \) вычислим дискриминант:
\[
D = (-330)^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-5400) = 108900 + 151200 = 260100.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{330 — 510}{2 \cdot 7} = \frac{-180}{14} = -\frac{90}{7}, \quad x_2 = \frac{330 + 510}{2 \cdot 7} = \frac{840}{14} = 60.
\]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем \( x = 60 \).

5) Находим \( y \):

Подставим \( x = 60 \) в выражение для \( y \):
\[
y_1 = \frac{180 \cdot 60}{180 — 60} = \frac{10800}{120} = 90, \quad y_2 = \frac{180 \cdot 60}{180 — (-60)} = \frac{10800}{240} = 45.
\]

Ответ: Скорости легкового и грузового автомобилей составляют \( 60 \) км/ч и \( 90 \) км/ч соответственно.