ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 525 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Бассейн, объёмом 425 м^3 можно наполнить за 17 ч, если одновременно открыть два крана. Но первый кран был открыт на 5 ч дольше, чем второй. Если первый кран открыть на столько часов, сколько был открыт второй, а второй — на столько, сколько был открыт первый, то через первый кран поступит вдвое меньше воды, чем через второй. Сколько времени был открыт второй кран?

Зададим переменные:

\(x \text{ м}^3/\text{ч} — \text{через первый;}\)

\(y \text{ м}^3/\text{ч} — \text{через второй;}\)

\(t \text{ ч} — \text{был открыт первый;}\)

1) Первое уравнение:

\(17(x + y) = 425;\)

\(x + y = 25;\)

\(y = 25 — x;\)

2) Второе уравнение:

\(tx + (t — 5)y = 425;\)

\(tx + (t — 5)(25 — x) = 425;\)

\(tx + 25t — tx — 125 + 5x = 425;\)

\(5x = 550 — 25t, x = 110 — 5t;\)

3) Третье уравнение:

\(ty = 2(t — 5)x;\)

\(t(25 — x) = 2x(t — 5);\)

\(25t — tx = 2tx — 10x;\)

\(25t — 3tx + 10x = 0;\)

\(25t — 3t(110 — 5t) + 10(110 — 5t) = 0;\)

\(25t — 330t + 15t^2 + 1100 — 50t = 0;\)

\(15t^2 — 355t + 1100 = 0;\)

\(3t^2 — 71t + 220 = 0;\)

\(D = 71^2 — 4 \cdot 3 \cdot 220 = 5041 — 2640 = 2401, \text{тогда:}\)

\(t_1 = \frac{71 — 49}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} = 3 \text{ и } t_2 = \frac{71 + 49}{2 \cdot 3} = \frac{120}{6} = 20;\)

\(t_1 — 5 = \frac{11}{3} — 5 = -\frac{4}{3} = -\frac{4}{3} \text{ и } t_2 — 5 = 20 — 5 = 15;\)

Ответ: 15 ч.

Заданы переменные:

\( x \) м³/ч — скорость первого потока, \( y \) м³/ч — скорость второго потока, \( t \) ч — время, через которое был открыт первый поток.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
17(x + y) = 425.
\]

Разделим обе стороны на 17:
\[
x + y = 25.
\]

Из этого уравнения получаем:
\[
y = 25 — x.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
tx + (t — 5)y = 425.
\]

Подставим \( y = 25 — x \) в это уравнение:
\[
tx + (t — 5)(25 — x) = 425.
\]

Раскроем скобки:
\[
tx + 25t — tx — 125 + 5x = 425.
\]

Упростим:
\[
5x = 550 — 25t, \quad x = 110 — 5t.
\]

3) Третье уравнение:

Дано уравнение:
\[
ty = 2(t — 5)x.
\]

Подставим \( y = 25 — x \) в это уравнение:
\[
t(25 — x) = 2x(t — 5).
\]

Раскроем скобки:
\[
25t — tx = 2tx — 10x.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
25t — 3tx + 10x = 0.
\]

Подставим \( x = 110 — 5t \) в это уравнение:
\[
25t — 3t(110 — 5t) + 10(110 — 5t) = 0.
\]

Упростим:
\[
25t — 330t + 15t^2 + 1100 — 50t = 0.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
15t^2 — 355t + 1100 = 0.
\]

Разделим на 5:
\[
3t^2 — 71t + 220 = 0.
\]

4) Вычисление дискриминанта:

Для уравнения \( 3t^2 — 71t + 220 = 0 \) вычислим дискриминант:
\[
D = (-71)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 220 = 5041 — 2640 = 2401.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
t_1 = \frac{71 — 49}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} = 3, \quad t_2 = \frac{71 + 49}{2 \cdot 3} = \frac{120}{6} = 20.
\]

5) Проверка:

Проверим оба значения для \( t \):
\[
t_1 — 5 = \frac{11}{3} — 5 = -\frac{4}{3}, \quad t_2 — 5 = 20 — 5 = 15.
\]

Так как \( t_1 — 5 \) отрицательно, выберем \( t_2 = 15 \).

Ответ: Время, через которое был открыт первый поток, составляет \( 15 \) часов.