ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 511 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

От пристани отправился первый катер. Через 1 ч вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, то второй догнал бы его в 90 км от пристани. Найдите скорость каждого катера.

Зададим переменные:

\(x\) км/ч — скорость первого;

\(y\) км/ч — скорость второго;

1) Первое уравнение:

\(\frac{30}{x} = 1 + \frac{30}{y};\)

\(30y = xy + 30x;\)

\(xy = 30y — 30x;\)

2) Второе уравнение:

\(1 + \frac{90 — x}{x + 10} = 1 + \frac{90}{y};\)

\(y(90 — x) = 90(x + 10);\)

\(90y — xy = 90x + 900;\)

\(90y — 30y + 30x = 90x + 900;\)

\(60y = 60x + 900, y = x + 15;\)

3) Первое уравнение:

\(x(x + 15) = 30(x + 15) — 30x;\)

\(x^2 + 15x = 30x + 450 — 30x;\)

\(x^2 + 15x — 450 = 0;\)

\(D = 15^2 + 4 \cdot 450 = 225 + 1800 = 2025, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{-15 — \sqrt{2025}}{2} = -30 \text{ и } x_2 = \frac{-15 + \sqrt{2025}}{2} = 15;\)

\(y_1 = -30 + 15 = -15 \text{ и } y_2 = 15 + 15 = 30;\)

Ответ: 15 км/ч и 30 км/ч.

Заданы переменные:

\( x \) км/ч — скорость первого, \( y \) км/ч — скорость второго.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
\frac{30}{x} = 1 + \frac{30}{y}.
\]

Умножим обе стороны на \( x \) и \( y \):
\[
30y = xy + 30x.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
xy = 30y — 30x.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
1 + \frac{90 — x}{x + 10} = 1 + \frac{90}{y}.
\]

Упростим:
\[
\frac{90 — x}{x + 10} = \frac{90}{y}.
\]

Перемножим крест-накрест:
\[
y(90 — x) = 90(x + 10).
\]

Раскроем скобки:
\[
90y — xy = 90x + 900.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
90y — 30y + 30x = 90x + 900.
\]

Упростим:
\[
60y = 60x + 900.
\]

Разделим обе стороны на 60:
\[
y = x + 15.
\]

3) Первое уравнение:

Подставим \( y = x + 15 \) во первое уравнение:
\[
x(x + 15) = 30(x + 15) — 30x.
\]

Раскроем скобки:
\[
x^2 + 15x = 30x + 450 — 30x.
\]

Упростим:
\[
x^2 + 15x = 450.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^2 + 15x — 450 = 0.
\]

4) Решение квадратного уравнения:

Вычислим дискриминант:
\[
D = 15^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-450) = 225 + 1800 = 2025.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-15 — \sqrt{2025}}{2} = -30, \quad x_2 = \frac{-15 + \sqrt{2025}}{2} = 15.
\]

5) Находим \( y \):

Для \( x_1 = -30 \):
\[
y_1 = -30 + 15 = -15.
\]

Для \( x_2 = 15 \):

\[
y_2 = 15 + 15 = 30.
\]

Ответ: \( x = 15 \) км/ч и \( y = 30 \) км/ч.