ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 498 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Укажите нули функции y=x^2+|x|-12, область её значений, промежутки возрастания и убывания.Укажите нули функции y=x^2+|x|-12, область её значений, промежутки возрастания и убывания.

Дана функция:
\(y = x^2 + |x| — 12;\)

1) Нули функции:

\(x^2 + |x| — 12 = 0;\) \(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда:

\(\|x_1\| = \frac{-1 — 7}{2} = -4\) и \(\|x_2\| = \frac{-1 + 7}{2} = 3;\)

\(x_1 \in \mathbb{R}\) и \(x_2 = \pm 3;\)

2) Вершина параболы:

\(x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} = -0,5;\)

\(y(0) = 0^2 + 0 — 12 = -12;\)

Ответ: \(y = 0\) при \(x = -3\) и \(x = 3;\) \(E(y) = [-12; +\infty);\)

Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0].\)

Дана функция: \( y = x^2 + |x| — 12 \)

1) Нули функции:

Необходимо найти значения \( x \), при которых \( y = 0 \), то есть решить уравнение:

\[
x^2 + |x| — 12 = 0;
\]
Рассмотрим два случая в зависимости от знака \( x \):

Для \( x \geq 0 \) (\( |x| = x \)):

\[
x^2 + x — 12 = 0;
\]
Решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49;
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\]
Так как для \( x \geq 0 \), то \( x_1 = -4 \) не подходит, а \( x_2 = 3 \) подходит.

Для \( x < 0 \) (\( |x| = -x \)):

\[
x^2 — x — 12 = 0;
\]
Решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49;
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\]
Так как для \( x < 0 \), то \( x_1 = -3 \) подходит, а \( x_2 = 4 \) не подходит.

Таким образом, нули функции: \( y = 0 \) при \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

2) Вершина параболы:

Рассмотрим выражение \( y = x^2 + |x| — 12 \). Парабола имеет вершину на оси \( x \). Для функции \( x^2 + |x| \), вершина будет находиться на \( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \).

Чтобы найти соответствующее значение \( y \), подставим \( x = 0 \) в уравнение функции:

\[
y(0) = 0^2 + 0 — 12 = -12;
\]

Ответ: Вершина параболы находится при \( x_0 = -\frac{1}{2} \), и \( y = -12 \) при \( x = 0 \).

3) Монотонность функции:

Для функции \( y = x^2 + |x| — 12 \) рассмотрим её монотонность:

— Для \( x \geq 0 \), функция \( y = x^2 + x — 12 \), и её производная:
\[
y'(x) = 2x + 1,
\]
которая всегда положительна для \( x \geq 0 \), то есть функция возрастает на интервале \( [0; +\infty) \).

— Для \( x < 0 \), функция \( y = x^2 — x — 12 \), и её производная:
\[
y'(x) = 2x — 1,
\]
которая отрицательна для \( x < 0 \), то есть функция убывает на интервале \( (-\infty; 0] \).

Ответ: Функция возрастает на интервале \( [0; +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty; 0] \).

Итоговый ответ:

Нули функции: \( y = 0 \) при \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

Область значений: \( E(y) = [-12; +\infty) \).

• Функция возрастает на интервале \( [0; +\infty) \) и убывает на интервале \( (-\infty; 0] \).