ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 497 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) y=v(x^3-4x^2+3x-12); б) y=v(x^3+x-2).

Найти область определения:

а) \(y = \sqrt{x^3 — 4x^2 + 3x — 12};\)

Область определения:

\(x^3 — 4x^2 + 3x — 12 \geq 0;\) \(x^2(x-4)+3(x-4) \geq 0;\) \((x^2+3)(x-4)\geq 0;\) \(x — 4 \geq 0, x\geq 4;\)

Ответ: \([4; +\infty).\)

б) \(y = \sqrt{x^3 + x — 2};\)

Область определения:

\(x^3 + x — 2 \geq 0;\)

\begin{array}{ccccc}
& 1 & 0 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 0
\end{array}

\((x-1)(x^2 + x + 2) \geq 0;\) \(x — 1 \geq 0, x \geq 1;\)

Ответ: \([1; +\infty).\)

Найти область определения:

а) \( y = \sqrt{x^3 — 4x^2 + 3x — 12} \)

Шаг 1: Область определения функции \(\sqrt{f(x)}\) существует, когда \( f(x) \geq 0 \). Следовательно, для функции:
\[
x^3 — 4x^2 + 3x — 12 \geq 0;
\]
Для нахождения области определения решим неравенство:
\[
x^3 — 4x^2 + 3x — 12 \geq 0.
\]

Шаг 2: Преобразуем многочлен:

\[
x^3 — 4x^2 + 3x — 12 = x^2(x — 4) + 3(x — 4);
\]
Вынесем общий множитель:
\[
(x^2 + 3)(x — 4) \geq 0;
\]

Шаг 3: Поскольку \(x^2 + 3 \geq 0\) всегда, нам нужно решить неравенство:
\[
x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4.
\]

Ответ: \( [4; +\infty) \).

б) \( y = \sqrt{x^3 + x — 2} \)

Шаг 1: Область определения функции \(\sqrt{f(x)}\) существует, когда \( f(x) \geq 0 \). Следовательно, для функции:
\[
x^3 + x — 2 \geq 0;
\]
Для нахождения области определения решим неравенство:
\[
x^3 + x — 2 \geq 0.
\]

Шаг 2: Для нахождения корней уравнения \(x^3 + x — 2 = 0\), попробуем подставить значение \(x = 1\):
\[
1^3 + 1 — 2 = 0, \quad x = 1 \quad \text{— корень}.
\]
Разделим многочлен на \(x — 1\) с помощью деления многочлена:
\[
\frac{x^3 + x — 2}{x — 1} = x^2 + x + 2.
\]
Таким образом, у нас есть разложение:
\[
(x — 1)(x^2 + x + 2) \geq 0.
\]

Шаг 3: Поскольку \( x^2 + x + 2 > 0 \) для всех \( x \), то нам нужно решить неравенство:
\[
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1.
\]

Ответ: \( [1; +\infty) \).