ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 495 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {xy=2, (x^2+y^2)xy=24};

б) {x-y=v3, xy(x^2+y^2)=-1}.

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
xy = 2, \\
(x^2 + y^2)xy = 24.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
(x^2 + y^2) \cdot 2 = 24;
\]

\[
x^2 + y^2 = 12;
\]

\[
(x + y)^2 — 2xy = 12;
\]

\[
(x + y)^2 — 4 = 12;
\]

\[
(x + y)^2 = 16;
\]

\[
x + y = \pm 4;
\]

Для \( x + y = -4 \):

\[
y_1 = -4 — x;
\]

\[
x(-4 — x) = 2;
\]

\[
x^2 + 4x + 2 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8;
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2};
\]

\[
y = -4 — (-2 \pm \sqrt{2}) = -2 \mp \sqrt{2};
\]

Для \( x + y = 4 \):

\[
y_2 = 4 — x;
\]

\[
x(4 — x) = 2;
\]

\[
x^2 — 4x + 2 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8;
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};
\]

\[
y = 4 — (2 \pm \sqrt{2}) = 2 \mp \sqrt{2};
\]

Ответ:

\[
(-2 + \sqrt{2}; -2 — \sqrt{2}), \, (-2 — \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2}), \, (2 + \sqrt{2}; 2 — \sqrt{2}), \, (2 — \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}).
\]

b)
\[
\begin{cases}
x — y = \sqrt{3}, \\
xy(x^2 + y^2) = -1.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:

\[
xy((x — y)^2 + 2xy) = -1;
\]

\[
xy(3 + 2xy) = -1;
\]

\[
2x^2y^2 + 3xy + 1 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1;
\]

\[
xy_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad y_1 = \frac{-1}{x};
\]

\[
xy_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-1}{2x};
\]

Для \( y_1 = \frac{-1}{x} \):

\[
x + \frac{1}{x} = \sqrt{3};
\]

\[
x^2 — \sqrt{3}x + 1 = 0;
\]

\[
D = (\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -1;
\]

\[
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\]

Для \( y_2 = \frac{-1}{2x} \):

\[
x + \frac{1}{2x} = \sqrt{3};
\]

\[
2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0;
\]

\[
D = (2\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 12 — 8 = 4;
\]

\[
x = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{2};
\]

\[
y = \frac{-1}{2x} = \frac{-1}{\sqrt{3} \pm 1};
\]

\[
y = \frac{-\sqrt{3} \mp 1}{2};
\]

Ответ:

\[
\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}; \frac{-\sqrt{3} — 1}{2}\right), \, \left(\frac{\sqrt{3} — 1}{2}; \frac{-\sqrt{3} + 1}{2}\right).
\]

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} xy = 2, \\ (x^2 + y^2)xy = 24. \end{cases} \)

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( xy \):

\[
xy = 2;
\]
Подставим это в второе уравнение:
\[
(x^2 + y^2) \cdot 2 = 24;
\]
Упростим:
\[
x^2 + y^2 = 12;
\]

Шаг 2: Разложим \( x^2 + y^2 \) через \( (x + y)^2 \):

\[
(x + y)^2 — 2xy = 12;
\]
Так как \( xy = 2 \), подставим:
\[
(x + y)^2 — 4 = 12;
\]
Упростим:
\[
(x + y)^2 = 16;
\]
Таким образом:
\[
x + y = \pm 4.
\]

Шаг 3: Рассмотрим два случая для \( x + y = 4 \) и \( x + y = -4 \).

Для \( x + y = -4 \):

\[
y_1 = -4 — x;
\]
Подставим это в первое уравнение \( xy = 2 \):
\[
x(-4 — x) = 2;
\]
Раскроем скобки:
\[
-4x — x^2 = 2;
\]
Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^2 + 4x + 2 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8;
\]
Решим для \( x \):
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2};
\]
Таким образом, \( x = -2 + \sqrt{2} \) или \( x = -2 — \sqrt{2} \). Подставим это в выражение для \( y \):
\[
y = -4 — (-2 + \sqrt{2}) = -2 — \sqrt{2}, \quad y = -4 — (-2 — \sqrt{2}) = -2 + \sqrt{2}.
\]

Для \( x + y = 4 \):

\[
y_2 = 4 — x;
\]
Подставим это в первое уравнение \( xy = 2 \):
\[
x(4 — x) = 2;
\]
Раскроем скобки:
\[
4x — x^2 = 2;
\]
Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^2 — 4x + 2 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8;
\]
Решим для \( x \):
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};
\]
Таким образом, \( x = 2 + \sqrt{2} \) или \( x = 2 — \sqrt{2} \). Подставим это в выражение для \( y \):
\[
y = 4 — (2 + \sqrt{2}) = 2 — \sqrt{2}, \quad y = 4 — (2 — \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}.
\]

Ответ: \( (-2 + \sqrt{2}; -2 — \sqrt{2}), (-2 — \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2}), (2 + \sqrt{2}; 2 — \sqrt{2}), (2 — \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}) \).

б) \( \begin{cases} x — y = \sqrt{3}, \\ xy(x^2 + y^2) = -1. \end{cases} \)

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( x — y \):

\[
x — y = \sqrt{3}.
\]
Подставим это во второе уравнение:
\[
xy((x — y)^2 + 2xy) = -1;
\]
Подставим \( x — y = \sqrt{3} \):
\[
xy(3 + 2xy) = -1;
\]
Упростим:
\[
2x^2y^2 + 3xy + 1 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \quad \text{тогда:}
\]
\[
xy_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad y_1 = \frac{-1}{x};
\]
\[
xy_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-1}{2x};
\]

Шаг 2: Для \( y_1 = \frac{-1}{x} \):

\[
x + \frac{1}{x} = \sqrt{3};
\]
Умножим на \( x \):
\[
x^2 — \sqrt{3}x + 1 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = (\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -1;
\]
Так как \( D < 0 \), этого решения нет.

Шаг 3: Для \( y_2 = \frac{-1}{2x} \):

\[
x + \frac{1}{2x} = \sqrt{3};
\]
Умножим на \( 2x \):
\[
2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = (2\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 12 — 8 = 4;
\]
Таким образом:
\[
x = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{2};
\]
Подставим это в выражение для \( y \):
\[
y = \frac{-1}{2x} = \frac{-1}{\sqrt{3} \pm 1};
\]
Таким образом:
\[
y = \frac{-\sqrt{3} \mp 1}{2};
\]

Ответ: \( \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}; \frac{-\sqrt{3} — 1}{2}\right), \, \left(\frac{\sqrt{3} — 1}{2}; \frac{-\sqrt{3} + 1}{2}\right) \).