ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 495 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}xy=2\\ (x^2+y^2)xy=24\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}x-y=\sqrt{3}\\ xy(x^2+y^2)=-1\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} xy = 2 \\ (x^2 + y^2)xy = 24 \end{cases}$$

Второе уравнение:
$(x^2 + y^2) \cdot 2 = 24;$
$x^2 + y^2 = 12;$
$(x + y)^2 — 2xy = 12;$
$(x + y)^2 — 4 = 12;$
$(x + y)^2 = 16;$
$x + y = \pm 4;$
$y_1 = -4 — x;$
$y_2 = 4 — x;$

Первое значение:
$x(-4 — x) = 2;$
$x^2 + 4x + 2 = 0;$
$D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8,$ тогда:
$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2};$
$y = -4 — (-2 \pm \sqrt{2}) = -2 \mp \sqrt{2};$

Второе значение:
$x(4 — x) = 2;$
$x^2 — 4x + 2 = 0;$
$D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8,$ тогда:
$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};$
$y = 4 — (2 \pm \sqrt{2}) = 2 \mp \sqrt{2};$

Ответ:
$(-2 \pm \sqrt{2};\ -2 \mp \sqrt{2});\ (2 \pm \sqrt{2};\ 2 \mp \sqrt{2})$

б)

$$\begin{cases} x — y = \sqrt{3} \\ xy(x^2 + y^2) = -1 \end{cases}$$

Второе уравнение:
$xy((x — y)^2 + 2xy) = -1;$
$xy(3 + 2xy) = -1;$
$2x^2y^2 + 3xy + 1 = 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,$ тогда:
$xy_1 = \dfrac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1,\quad y_1 = -\dfrac{1}{x};$
$xy_2 = \dfrac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\dfrac{1}{2},\quad y_2 = -\dfrac{1}{2x};$

Первое значение:
$x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3};$
$x^2 — \sqrt{3}x + 1 = 0;$
$D = (\sqrt{3})^2 — 4 = -1;$
$D < 0,$ значит $x \in \varnothing;$

Второе значение:
$x + \dfrac{1}{2x} = \sqrt{3};$
$2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0;$
$D = (2\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 2 = 12 — 8 = 4,$ тогда:
$x = \dfrac{2\sqrt{3} \pm 2}{2 \cdot 2} = \dfrac{2(\sqrt{3} \pm 1)}{4} = \dfrac{\sqrt{3} \pm 1}{2};$
$y = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} \pm 1} = -\dfrac{1}{\sqrt{3} \pm 1} = \dfrac{-\sqrt{3} \pm 1}{2};$

Ответ:
$\left(\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2};\ \dfrac{-\sqrt{3} + 1}{2}\right);\ \left(\dfrac{\sqrt{3} — 1}{2};\ \dfrac{-\sqrt{3} — 1}{2}\right)$

а)

$$\begin{cases} xy = 2 \\ (x^2 + y^2)xy = 24 \end{cases}$$

Шаг 1. Используем первое уравнение во втором

Из первого уравнения:

$$xy = 2$$

Подставим это во второе уравнение:

$$(x^2 + y^2) \cdot 2 = 24 \Rightarrow x^2 + y^2 = 12$$

Шаг 2. Преобразуем сумму квадратов

Напомним формулу:

$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 — 2xy$$

Подставим:

$$(x + y)^2 — 2 \cdot 2 = 12 \Rightarrow (x + y)^2 — 4 = 12 \Rightarrow (x + y)^2 = 16$$

Отсюда:

$$x + y = \pm 4$$

Шаг 3. Система свелась к:

$$\begin{cases} x + y = \pm 4 \\ xy = 2 \end{cases}$$

Решим в каждом случае отдельно.

Случай 1: $x + y = -4,\ xy = 2$

Подставим $y = -4 — x$ во второе уравнение:

$$x(-4 — x) = 2 \Rightarrow -4x — x^2 = 2 \Rightarrow x^2 + 4x + 2 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$$

Находим $y$:

$$y = -4 — x = -4 — (-2 \pm \sqrt{2}) = -2 \mp \sqrt{2}$$

Решения:

• $x = -2 + \sqrt{2},\ y = -2 — \sqrt{2}$
• $x = -2 — \sqrt{2},\ y = -2 + \sqrt{2}$

Случай 2: $x + y = 4,\ xy = 2$

Подставим $y = 4 — x$:

$$x(4 — x) = 2 \Rightarrow 4x — x^2 = 2 \Rightarrow x^2 — 4x + 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$

Находим $y$:

$$y = 4 — x = 2 \mp \sqrt{2}$$

Решения:

• $x = 2 + \sqrt{2},\ y = 2 — \sqrt{2}$
• $x = 2 — \sqrt{2},\ y = 2 + \sqrt{2}$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{ (-2 \pm \sqrt{2};\ -2 \mp \sqrt{2});\quad (2 \pm \sqrt{2};\ 2 \mp \sqrt{2}) }$$

б)

$$\begin{cases} x — y = \sqrt{3} \\ xy(x^2 + y^2) = -1 \end{cases}$$

Шаг 1. Представим сумму квадратов через разность

Используем формулу:

$$x^2 + y^2 = (x — y)^2 + 2xy$$

У нас:

• $x — y = \sqrt{3}$
• Тогда $x^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2 + 2xy = 3 + 2xy$

Теперь подставим это в уравнение:

$$xy(x^2 + y^2) = -1 \Rightarrow xy(3 + 2xy) = -1$$

Шаг 2. Введем переменную

Пусть:

$$t = xy \Rightarrow t(3 + 2t) = -1 \Rightarrow 3t + 2t^2 + 1 = 0 \Rightarrow 2t^2 + 3t + 1 = 0$$

Решим это уравнение:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$ $$t = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4} \Rightarrow \begin{cases} t_1 = \frac{-4}{4} = -1 \\ t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{cases}$$

Шаг 3. Случай 1: $xy = -1$

Имеем:

• $x — y = \sqrt{3}$
• $xy = -1$

Подставим в уравнение:

$$y = x — \sqrt{3} \Rightarrow x(x — \sqrt{3}) = -1 \Rightarrow x^2 — \sqrt{3}x + 1 = 0$$

Решим:

$$D = (\sqrt{3})^2 — 4 = 3 — 4 = -1 \Rightarrow \text{Нет действительных решений}$$

Шаг 4. Случай 2: $xy = -\dfrac{1}{2}$

Имеем:

• $x — y = \sqrt{3}$
• $xy = -\dfrac{1}{2}$

Подставим $y = x — \sqrt{3}$ в произведение:

$$x(x — \sqrt{3}) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x^2 — \sqrt{3}x + \dfrac{1}{2} = 0 \Rightarrow 2x^2 — 2\sqrt{3}x + 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (2\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 12 — 8 = 4$$

Корни:

$$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{2}$$

Соответствующие $y$:

$$y = x — \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{2} — \sqrt{3} = \frac{-\sqrt{3} \pm 1}{2}$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{{\displaystyle (\frac{\sqrt{3}+1}{2};\frac{-\sqrt{3}+1}{2}),(\frac{\sqrt{3}-1}{2};\frac{-\sqrt{3}-1}{2})}}$$