ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 494 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {2x^2-y^2-xy+2x+y=0, x^2-y=xy-1};

б) {x^2+xy=10, 2x^2+y^2=3xy-1}.

Решить системы уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 — y^2 — xy + 2x + y = 0, \\
x^2 — y = xy — 1.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
2x^2 + (2 — y)x + y — y^2 = 0;
\]

\[
D = (2 — y)^2 — 4 \cdot 2(y — y^2);
\]

\[
D = 4 — 4y + y^2 — 8y + 8y^2;
\]

\[
D = 9y^2 — 12y + 4 = (3y — 2)^2, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{y — 2 — (3y — 2)}{2 \cdot 2} = \frac{-2y}{4} = -\frac{y}{2};
\]

\[
x_2 = \frac{y — 2 + (3y — 2)}{2 \cdot 2} = \frac{4y — 4}{4} = y — 1;
\]

Первое значение:
\[
\frac{y^2}{4} — y = -\frac{y}{2} \cdot (y — 1);
\]

\[
y^2 — 4y = -2y^2 — 4;
\]

\[
3y^2 — 4y + 4 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = -32;
\]

\[
D < 0, \text{ значит } y \in \emptyset;
\]

Второе значение:
\[
(y — 1)^2 — y = y(y — 1) — 1;
\]

\[
y^2 — 2y + 1 — y = y^2 — y — 1;
\]

\[
2y = 2, \quad y = 1, \quad x = 1 — 1 = 0;
\]

Ответ:

\[
(0; 1).
\]

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + xy = 10, \\
2x^2 + y^2 = 3xy — 1.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
xy = 10 — x^2;
\]

\[
y = \frac{10 — x^2}{x};
\]

Второе уравнение:
\[
2x^2 + \left(\frac{10 — x^2}{x}\right)^2 = 3x \cdot \frac{10 — x^2}{x} — 1;
\]

\[
2x^4 + (10 — x^2)^2 = 3x^2(10 — x^2) — x^2;
\]

\[
2x^4 + 100 — 20x^2 + x^4 = 30x^2 — 3x^4 — x^2;
\]

\[
6x^4 — 49x^2 + 100 = 0;
\]

\[
D = 49^2 — 4 \cdot 6 \cdot 100 = 2401 — 2400 = 1, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{49 — 1}{12} = 4, \quad x_2^2 = \frac{49 + 1}{12} = \frac{25}{6};
\]

\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm \sqrt{\frac{25}{6}} = \pm \frac{5}{\sqrt{6}};
\]

Для каждого значения \( x \) находим \( y \):

\[
y = \frac{10 — x^2}{x};
\]

Ответ:

\[
(-2; -3), \, (2; 3), \, \left(-\frac{5}{\sqrt{6}}; -\frac{7}{\sqrt{6}}\right), \, \left(\frac{5}{\sqrt{6}}; \frac{7}{\sqrt{6}}\right).
\]

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 2x^2 — y^2 — xy + 2x + y = 0, \\ x^2 — y = xy — 1. \end{cases} \)

Шаг 1: Перепишем первое уравнение в удобном виде:

\[
2x^2 + (2 — y)x + y — y^2 = 0;
\]

Шаг 2: Вычислим дискриминант для уравнения относительно \( x \):

\[
D = (2 — y)^2 — 4 \cdot 2(y — y^2);
\]
Раскроем скобки:
\[
D = 4 — 4y + y^2 — 8y + 8y^2;
\]
Упростим:
\[
D = 9y^2 — 12y + 4 = (3y — 2)^2, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{y — 2 — (3y — 2)}{2 \cdot 2} = \frac{-2y}{4} = -\frac{y}{2};
\]
\[
x_2 = \frac{y — 2 + (3y — 2)}{2 \cdot 2} = \frac{4y — 4}{4} = y — 1;
\]

Шаг 3: Подставим найденные значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в второе уравнение системы:

Для \( x_1 = -\frac{y}{2} \):

\[
\frac{y^2}{4} — y = -\frac{y}{2} \cdot (y — 1);
\]
Упростим:
\[
y^2 — 4y = -2y^2 — 4;
\]
Переносим все на одну сторону:
\[
3y^2 — 4y + 4 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = -32;
\]
Так как \( D < 0 \), этого решения не существует.

Для \( x_2 = y — 1 \):

\[
(y — 1)^2 — y = y(y — 1) — 1;
\]
Упростим:
\[
y^2 — 2y + 1 — y = y^2 — y — 1;
\]
Переносим все на одну сторону:
\[
2y = 2, \quad y = 1;
\]
Подставим \( y = 1 \) в \( x_2 = y — 1 \):
\[
x_2 = 1 — 1 = 0;
\]

Ответ: \( (0, 1) \).

б) \( \begin{cases} x^2 + xy = 10, \\ 2x^2 + y^2 = 3xy — 1. \end{cases} \)

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):

\[
xy = 10 — x^2, \quad y = \frac{10 — x^2}{x};
\]

Шаг 2: Подставим \( y = \frac{10 — x^2}{x} \) во второе уравнение:

\[
2x^2 + \left( \frac{10 — x^2}{x} \right)^2 = 3x \cdot \frac{10 — x^2}{x} — 1;
\]
Умножим обе стороны на \( x^2 \), чтобы избавиться от дробей:
\[
2x^4 + (10 — x^2)^2 = 3x^2(10 — x^2) — x^2;
\]
Раскроем скобки:
\[
2x^4 + 100 — 20x^2 + x^4 = 30x^2 — 3x^4 — x^2;
\]
Упростим:
\[
6x^4 — 49x^2 + 100 = 0;
\]

Шаг 3: Вычислим дискриминант для этого уравнения:

\[
D = 49^2 — 4 \cdot 6 \cdot 100 = 2401 — 2400 = 1, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1^2 = \frac{49 — 1}{12} = 4, \quad x_2^2 = \frac{49 + 1}{12} = \frac{25}{6};
\]
\[
x_1 = \pm 2, \quad x_2 = \pm \sqrt{\frac{25}{6}} = \pm \frac{5}{\sqrt{6}};
\]

Шаг 4: Для каждого значения \( x \) находим \( y \):

Для \( x = \pm 2 \):
\[
y = \frac{10 — 2^2}{2} = \frac{10 — 4}{2} = 3;
\]

Для \( x = \pm \frac{5}{\sqrt{6}} \):
\[
y = \frac{10 — \left( \frac{5}{\sqrt{6}} \right)^2}{\frac{5}{\sqrt{6}}} = \frac{10 — \frac{25}{6}}{\frac{5}{\sqrt{6}}} = \frac{\frac{60}{6} — \frac{25}{6}}{\frac{5}{\sqrt{6}}} = \frac{35}{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{5} = \frac{7}{\sqrt{6}}.
\]

Ответ: \( (-2; -3), (2; 3), \left( -\frac{5}{\sqrt{6}}; -\frac{7}{\sqrt{6}} \right), \left( \frac{5}{\sqrt{6}}; \frac{7}{\sqrt{6}} \right) \).