ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 493 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а)

$$\begin{cases} \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = -\dfrac{5}{2}, \\ x^2 — y^2 = \dfrac{13}{4} \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\ \dfrac{x}{y} — \dfrac{y}{x} = \dfrac{17}{4} \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} |x| + |y| = 6 \\ x^2 — y^2 = 24 \end{cases}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=4\\ x^2+y^2=41\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = -\dfrac{5}{2}, \\ x^2 — y^2 = \dfrac{13}{4} \end{cases}$$

Пусть $t = \dfrac{x}{y}$, тогда:

$$t + \dfrac{1}{t} = -\dfrac{5}{2};$$ $$2t^2 + 5t + 2 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}$$ $$t_1 = \dfrac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2 \quad \text{и} \quad t_2 = \dfrac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\dfrac{1}{2}.$$

Первое значение:

$$\dfrac{x}{y} = -2, \quad y = -\dfrac{x}{2};$$ $$x^2 — \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{13}{4};$$ $$4x^2 — x^2 = 13;$$ $$3x^2 = 13;$$ $$x^2 = \dfrac{13}{3}, \quad x = \pm \sqrt{\dfrac{13}{3}};$$ $$y = \mp \sqrt{\dfrac{13}{3}} : 2 = \mp \sqrt{\dfrac{13}{12}}.$$

Второе значение:

$$\dfrac{x}{y} = -\dfrac{1}{2}, \quad y = -2x;$$ $$x^2 — 4x^2 = \dfrac{13}{4};$$ $$-3x^2 = \dfrac{13}{4}, \quad x \in \varnothing;$$

Ответ:

$$\left( \sqrt{\dfrac{13}{3}}; -\sqrt{\dfrac{13}{12}} \right); \left( -\sqrt{\dfrac{13}{3}}; \sqrt{\dfrac{13}{12}} \right).$$

б)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\ \dfrac{x}{y} — \dfrac{y}{x} = \dfrac{17}{4} \end{cases}$$

Пусть $t = \dfrac{x}{y}$, тогда:

$$t — \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4};$$ $$4t^2 — 17t + 4 = 0;$$ $$D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \text{ тогда:}$$ $$t_1 = \dfrac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \dfrac{1}{4} \quad \text{и} \quad t_2 = \dfrac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \dfrac{32}{8} = 4;$$

Первое значение:

$$\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{4}, \quad y = 4x;$$ $$x^2 + 16x^2 = 68;$$ $$17x^2 = 68;$$ $$x^2 = 4, \quad x = \pm 2;$$ $$y = 4 \cdot (\pm 2) = \pm 8;$$

Второе значение:

$$\dfrac{x}{y} = 4, \quad y = \dfrac{x}{4};$$ $$x^2 + \dfrac{x^2}{16} = 68;$$ $$16x^2 + x^2 = 1088;$$ $$17x^2 = 1088;$$ $$x^2 = 64, \quad x = \pm 8;$$ $$y = \pm \dfrac{8}{4} = \pm 2;$$

Ответ: $(-2; -8); (2; 8); (-8; -2); (8; 2)$.

в)

$$\begin{cases} |x| + |y| = 6 \\ x^2 — y^2 = 24 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$|x| = 6 — |y|;$$

Если $y \geq 0$, тогда:

$$(6 — y)^2 — y^2 = 24;$$ $$36 — 12y + y^2 — y^2 = 24;$$ $$12y = 12, \quad y = 1;$$ $$|x| = 5, \quad x = \pm 5;$$

Если $y < 0$, тогда:

$$(6 + y)^2 — y^2 = 24;$$ $$36 + 12y + y^2 — y^2 = 24;$$ $$12y = -12, \quad y = -1;$$ $$|x| = 5, \quad x = \pm 5;$$

Ответ: $(-5; 1); (-5; -1); (5; -1); (5; 1)$.

г)

$$\begin{cases} |x| — |y| = 4 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$|y| = |x| — 4;$$

Если $x \geq 0$, тогда:

$$x^2 + (x — 4)^2 = 41;$$ $$x^2 + x^2 — 8x + 16 = 41;$$ $$2x^2 — 8x — 25 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 2 \cdot 25 = 64 + 200 = 264, \text{ тогда:}$$ $$x = \dfrac{8 + \sqrt{264}}{2 \cdot 2} = \dfrac{8 + 2\sqrt{66}}{4} = \dfrac{4 + \sqrt{66}}{2};$$ $$y = \dfrac{4 + \sqrt{66}}{2} — 4 = \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2};$$

Если $x < 0$, тогда:

$$x^2 + (x + 4)^2 = 41;$$ $$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 41;$$ $$2x^2 + 8x — 25 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 2 \cdot 25 = 64 + 200 = 264, \text{ тогда:}$$ $$x = \dfrac{-8 — \sqrt{264}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-8 — 2\sqrt{66}}{4} = \dfrac{-4 — \sqrt{66}}{2};$$ $$y = \dfrac{4 + \sqrt{66}}{2} — 4 = \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2};$$

Ответ:

$$\left( \dfrac{4 + \sqrt{66}}{2}; \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2} \right); \left( \dfrac{-4 — \sqrt{66}}{2}; \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2} \right).$$

а)

$$\begin{cases} \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = -\dfrac{5}{2} \quad \text{(1)} \\ x^2 — y^2 = \dfrac{13}{4} \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Введём замену переменной

Пусть:

$$t = \dfrac{x}{y} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{t}$$

Подставим в уравнение (1):

$$t + \dfrac{1}{t} = -\dfrac{5}{2}$$

Шаг 2. Умножим на $t$, чтобы избавиться от дроби

$$t^2 + 1 = -\dfrac{5}{2}t \Rightarrow 2t^2 + 2 = -5t \Rightarrow 2t^2 + 5t + 2 = 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант и корни

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$ $$t_{1,2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-5 \pm 3}{4}$$ $$t_1 = \dfrac{-5 + 3}{4} = -\dfrac{1}{2}, \quad t_2 = \dfrac{-5 — 3}{4} = -2$$

Рассмотрим каждый корень отдельно

Случай 1: $\dfrac{x}{y} = -2 \Rightarrow x = -2y$

Подставим в уравнение (2):

$$(-2y)^2 — y^2 = \dfrac{13}{4} \Rightarrow 4y^2 — y^2 = \dfrac{13}{4} \Rightarrow 3y^2 = \dfrac{13}{4} \Rightarrow y^2 = \dfrac{13}{12} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\dfrac{13}{12}}$$

Находим соответствующие значения $x$:

$$x = -2y = \mp 2\sqrt{\dfrac{13}{12}} = \mp \sqrt{\dfrac{13}{3}}$$

Пары:

$$\left( \sqrt{\dfrac{13}{3}};\ -\sqrt{\dfrac{13}{12}} \right),\quad \left( -\sqrt{\dfrac{13}{3}};\ \sqrt{\dfrac{13}{12}} \right)$$

Случай 2: $\dfrac{x}{y} = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}y \Rightarrow y = -2x$

Подставим в уравнение (2):

$$x^2 — (-2x)^2 = \dfrac{13}{4} \Rightarrow x^2 — 4x^2 = \dfrac{13}{4} \Rightarrow -3x^2 = \dfrac{13}{4}$$

Это невозможно, так как левая часть отрицательная, а правая положительная.

Значит решений нет.

Ответ к пункту а:

$$\boxed{ \left( \sqrt{\dfrac{13}{3}};\ -\sqrt{\dfrac{13}{12}} \right),\quad \left( -\sqrt{\dfrac{13}{3}};\ \sqrt{\dfrac{13}{12}} \right) }$$

б)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \quad \text{(1)} \\ \dfrac{x}{y} — \dfrac{y}{x} = \dfrac{17}{4} \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Введём замену:

Пусть $t = \dfrac{x}{y} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{t}$

Подставим во второе уравнение:

$$t — \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4} \Rightarrow \text{умножим обе части на } t:$$ $$t^2 — 1 = \dfrac{17}{4}t \Rightarrow 4t^2 — 4 = 17t \Rightarrow 4t^2 — 17t — 4 = 0$$

Шаг 2. Найдём корни квадратного уравнения

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 289 + 64 = 353$$

$$4t^2-17t+4=0\Rightarrow D=289-64=225\Rightarrow \sqrt{D}=15$$

$$4t^2 — 17t + 4 = 0 \Rightarrow D = 289 — 64 = 225 \Rightarrow \sqrt{D} = 15$$ $$t_1 = \dfrac{17 — 15}{8} = \dfrac{1}{4}, \quad t_2 = \dfrac{17 + 15}{8} = \dfrac{32}{8} = 4$$

Случай 1: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}y \Rightarrow y = 4x$

Подставим в уравнение (1):

$$x^2+(4x{)}^2=68\Rightarrow x^2+16x^2=68\Rightarrow 17x^2=68\Rightarrow x^2=4\Rightarrow$$

$$x^2 + (4x)^2 = 68 \Rightarrow x^2 + 16x^2 = 68 \Rightarrow 17x^2 = 68 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2,\ y = \pm 8$$

Пары:

$$(2;\ 8),\ (-2;\ -8)$$

Случай 2: $\dfrac{x}{y} = 4 \Rightarrow y = \dfrac{x}{4}$

Подставим в уравнение (1):

$$x^2+{\left(\frac{x}{4}\right)}^2=68\Rightarrow x^2+\frac{x^2}{16}=68\Rightarrow \frac{16x^2+x^2}{16}=68\Rightarrow \frac{17x^2}{16}=68\Rightarrow$$

$$x^2 + \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = 68 \Rightarrow x^2 + \dfrac{x^2}{16} = 68 \Rightarrow \dfrac{16x^2 + x^2}{16} = 68 \Rightarrow \dfrac{17x^2}{16} = 68 \Rightarrow 17x^2 = 1088 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8,\ y = \pm 2$$

Пары:

$$(8;\ 2),\ (-8;\ -2)$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{ (-2;\ -8),\ (2;\ 8),\ (-8;\ -2),\ (8;\ 2) }$$

в)

$$\begin{cases} |x| + |y| = 6 \quad \text{(1)} \\ x^2 — y^2 = 24 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим $|x|$

Из (1):

$$|x| = 6 — |y|$$

Случай 1: $y \geq 0 \Rightarrow |y| = y,\ |x| = 6 — y$

Подставим в (2):

$$(6-y{)}^2-y^2=24\Rightarrow 36-12y+y^2-y^2=24\Rightarrow -12y=-12\Rightarrow$$

$$(6 — y)^2 — y^2 = 24 \Rightarrow 36 — 12y + y^2 — y^2 = 24 \Rightarrow -12y = -12 \Rightarrow y = 1,\ |x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5$$

Пары:

$$(5;\ 1),\ (-5;\ 1)$$

Случай 2: $y < 0 \Rightarrow |y| = -y,\ |x| = 6 + y$

Подставим в (2):

$$(6+y{)}^2-y^2=24\Rightarrow 36+12y+y^2-y^2=24\Rightarrow 12y=-12\Rightarrow$$

$$(6 + y)^2 — y^2 = 24 \Rightarrow 36 + 12y + y^2 — y^2 = 24 \Rightarrow 12y = -12 \Rightarrow y = -1,\ |x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5$$

Пары:

$$(5;\ -1),\ (-5;\ -1)$$

Ответ к пункту в:

$$\boxed{ (-5;\ -1),\ (-5;\ 1),\ (5;\ -1),\ (5;\ 1) }$$

г)

$$\begin{cases} |x| — |y| = 4 \quad \text{(1)} \\ x^2 + y^2 = 41 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим $|y|$:

$$|y| = |x| — 4$$

Случай 1: $x \geq 0 \Rightarrow |x| = x,\ |y| = x — 4$

Подставим в (2):

$$x^2+(x-4{)}^2=41\Rightarrow x^2+x^2-8x+16=41\Rightarrow 2x^2-8x+16=41\Rightarrow$$

$$2x^2-8x-25=0$$

$$x^2 + (x — 4)^2 = 41 \Rightarrow x^2 + x^2 — 8x + 16 = 41 \Rightarrow 2x^2 — 8x + 16 = 41 \Rightarrow 2x^2 — 8x — 25 = 0$$ $$D=64+200=264,\sqrt{264}=2\sqrt{66}$$

$$D = 64 + 200 = 264,\quad \sqrt{264} = 2\sqrt{66}$$ $$x = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \dfrac{4 \pm \sqrt{66}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{4 \pm \sqrt{66}}{2} — 4 = \dfrac{-4 \pm \sqrt{66}}{2}$$

Пара:

$$\left( \dfrac{4 + \sqrt{66}}{2};\ \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2} \right)$$

Случай 2: $x < 0 \Rightarrow |x| = -x,\ |y| = -x — 4$

Подставим в (2):

$$x^2 + (-x — 4)^2 = 41 \Rightarrow x^2 + x^2 + 8x + 16 = 41 \Rightarrow 2x^2 + 8x — 25 = 0$$

Та же дискриминанта: $D = 264$

$$x = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{66}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{4 + \sqrt{66}}{2} — 4 = \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2}$$

Пара:

$$\left( \dfrac{-4 — \sqrt{66}}{2};\ \dfrac{-4 + \sqrt{66}}{2} \right)$$

Ответ к пункту г:

$$\boxed{{\displaystyle (\frac{4+\sqrt{66}}{2};\frac{-4+\sqrt{66}}{2}),(\frac{-4-\sqrt{66}}{2};\frac{-4+\sqrt{66}}{2})}}$$