ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 493 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {x/y+y/x=-5/2, x^2-y^2=13/4};

б) {x^2+y^2=68, x/y-y/x=17/4};

в) {|x|+|y|=6, x^2-y^2=24};

г) {|x|-|y|=4, x^2+y^2=41}.

Решить системы уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -\frac{5}{2}, \\
x^2 — y^2 = \frac{13}{4}.
\end{cases}
\]

Подстановка:
Пусть \( t = \frac{x}{y} \), тогда:
\[
t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2};
\]

\[
2t^2 + 5t + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
t_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\]

Первое значение:
\[
\frac{x}{y} = -2, \quad y = -\frac{x}{2};
\]

\[
x^2 — \frac{x^2}{4} = \frac{13}{4};
\]

\[
\frac{4x^2 — x^2}{4} = \frac{13}{4};
\]

\[
3x^2 = 13, \quad x^2 = \frac{13}{3}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{13}{3}};
\]

\[
y = -\frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{13}{12}};
\]

Второе значение:
\[
\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}, \quad y = -2x;
\]

\[
x^2 — 4x^2 = \frac{13}{4};
\]

\[
-3x^2 = \frac{13}{4}, \quad x \in \emptyset;
\]

Ответ:

\[
\left(\sqrt{\frac{13}{3}}; -\sqrt{\frac{13}{12}}\right), \quad \left(-\sqrt{\frac{13}{3}}; \sqrt{\frac{13}{12}}\right).
\]

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 68, \\
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{17}{4}.
\end{cases}
\]

Подстановка:
Пусть \( t = \frac{x}{y} \), тогда:
\[
t — \frac{1}{t} = \frac{17}{4};
\]

\[
4t^2 — 17t + 4 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \text{ тогда:}
\]

\[
t_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4;
\]

Первое значение:
\[
\frac{x}{y} = \frac{1}{4}, \quad y = 4x;
\]

\[
x^2 + 16x^2 = 68;
\]

\[
17x^2 = 68, \quad x^2 = 4, \quad x = \pm 2;
\]

\[
y = 4 \cdot (\pm 2) = \pm 8;
\]

Второе значение:
\[
\frac{x}{y} = 4, \quad y = \frac{x}{4};
\]

\[
16x^2 + x^2 = 68;
\]

\[
17x^2 = 68, \quad x^2 = 4, \quad x = \pm 2;
\]

\[
y = \frac{\pm 2}{4} = \pm \frac{1}{2};
\]

Ответ:

\[
(-2; -8), \, (2; 8), \, (-8; -2), \, (8; 2).
\]

в)
\[
\begin{cases}
|x| + |y| = 6, \\
x^2 — y^2 = 24.
\end{cases}
\]

Рассмотрим случаи:
1. Если \( y \geq 0 \):
\[
|x| = 6 — y;
\]

\[
(6 — y)^2 — y^2 = 24;
\]

\[
36 — 12y + y^2 — y^2 = 24;
\]

\[
12y = 12, \quad y = 1;
\]

\[
|x| = 6 — 1 = 5, \quad x = \pm 5;
\]

2. Если \( y < 0 \):

\[
|x| = 6 + y;
\]

\[
(6 + y)^2 — y^2 = 24;
\]

\[
36 + 12y + y^2 — y^2 = 24;
\]

\[
12y = -12, \quad y = -1;
\]

\[
|x| = 6 + (-1) = 5, \quad x = \pm 5;
\]

Ответ:

\[
(-5; 1), \, (-5; -1), \, (5; -1), \, (5; 1).
\]

г)
\[
\begin{cases}
|x| — |y| = 4, \\
x^2 + y^2 = 41.
\end{cases}
\]

Рассмотрим случаи:
1. Если \( x \geq 0 \):
\[
|y| = x — 4;
\]

\[
x^2 + (x — 4)^2 = 41;
\]

\[
x^2 + x^2 — 8x + 16 = 41;
\]

\[
2x^2 — 8x — 25 = 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 264, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{264}}{4}, \quad y = x — 4;
\]

2. Если \( x < 0 \):
\[
|y| = -x — 4;
\]

\[
x^2 + (x + 4)^2 = 41;
\]

\[
x^2 + x^2 + 8x + 16 = 41;
\]

\[
2x^2 + 8x — 25 = 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 264, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{264}}{4}, \quad y = -x — 4;
\]

Ответ:
\[
\left(\frac{4 + \sqrt{66}}{2}; \frac{-4 + \sqrt{66}}{2}\right), \, \left(\frac{4 — \sqrt{66}}{2}; \frac{-4 — \sqrt{66}}{2}\right),
\]

\[
\left(\frac{-4 + \sqrt{66}}{2}; \frac{4 — \sqrt{66}}{2}\right), \, \left(\frac{-4 — \sqrt{66}}{2}; \frac{4 + \sqrt{66}}{2}\right).
\]

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -\frac{5}{2}, \\ x^2 — y^2 = \frac{13}{4}. \end{cases} \)

1. Подставим \( t = \frac{x}{y} \), тогда:

\[
t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2};
\]
Умножим на \( t \) и преобразуем уравнение:
\[
t^2 + 1 = -\frac{5}{2}t;
\]
Преобразуем уравнение в квадратное:
\[
2t^2 + 5t + 2 = 0;
\]

2. Найдем дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}
\]
\[
t_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\]

3. Подставим значения \( t \) в уравнение для \( x \) и \( y \):

Для \( t = -2 \):

\[
\frac{x}{y} = -2, \quad y = -\frac{x}{2};
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 — y^2 = \frac{13}{4} \):
\[
x^2 — \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{13}{4};
\]
\[
x^2 — \frac{x^2}{4} = \frac{13}{4};
\]
Умножим на 4:
\[
4x^2 — x^2 = 13;
\]
\[
3x^2 = 13, \quad x^2 = \frac{13}{3}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{13}{3}};
\]
Тогда:
\[
y = -\frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{13}{12}};
\]

Для \( t = -\frac{1}{2} \):

\[
\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}, \quad y = -2x;
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 — y^2 = \frac{13}{4} \):
\[
x^2 — (2x)^2 = \frac{13}{4};
\]
\[
x^2 — 4x^2 = \frac{13}{4};
\]
\[
-3x^2 = \frac{13}{4}, \quad x \in \emptyset;
\]
Так как \( x \in \emptyset \), этого решения нет.

Ответ: \( \left( \sqrt{\frac{13}{3}}, -\sqrt{\frac{13}{12}} \right), \, \left( -\sqrt{\frac{13}{3}}, \sqrt{\frac{13}{12}} \right) \).

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 68, \\ \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{17}{4}. \end{cases} \)

1. Подставим \( t = \frac{x}{y} \), тогда:

\[
t — \frac{1}{t} = \frac{17}{4};
\]
Умножим на \( t \):
\[
t^2 — 1 = \frac{17}{4}t;
\]
Преобразуем уравнение:
\[
4t^2 — 17t + 4 = 0;
\]

2. Найдем дискриминант:

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \quad \text{тогда:}
\]
\[
t_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4;
\]

3. Подставим значения \( t \) в уравнение для \( x \) и \( y \):

Для \( t = \frac{1}{4} \):

\[
\frac{x}{y} = \frac{1}{4}, \quad y = 4x;
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 + y^2 = 68 \):
\[
x^2 + (4x)^2 = 68;
\]
\[
x^2 + 16x^2 = 68;
\]
\[
17x^2 = 68, \quad x^2 = 4, \quad x = \pm 2;
\]
Тогда:
\[
y = 4 \cdot (\pm 2) = \pm 8;
\]

Для \( t = 4 \):

\[
\frac{x}{y} = 4, \quad y = \frac{x}{4};
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 + y^2 = 68 \):
\[
x^2 + \left( \frac{x}{4} \right)^2 = 68;
\]
\[
x^2 + \frac{x^2}{16} = 68;
\]
Умножим на 16:
\[
16x^2 + x^2 = 1088;
\]
\[
17x^2 = 1088, \quad x^2 = 4, \quad x = \pm 2;
\]
Тогда:
\[
y = \frac{\pm 2}{4} = \pm \frac{1}{2};
\]

Ответ: \( (-2; -8), \, (2; 8), \, (-8; -2), \, (8; 2) \).

в) \( \begin{cases} |x| + |y| = 6, \\ x^2 — y^2 = 24. \end{cases} \)

1. Рассмотрим два случая для \( y \):

Для \( y \geq 0 \):

\[
|x| = 6 — y;
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 — y^2 = 24 \):
\[
(6 — y)^2 — y^2 = 24;
\]
\[
36 — 12y + y^2 — y^2 = 24;
\]
\[
12y = 12, \quad y = 1;
\]
Подставим \( y = 1 \) в \( |x| = 6 — y \):
\[
|x| = 5, \quad x = \pm 5;
\]

Для \( y < 0 \):

\[
|x| = 6 + y;
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 — y^2 = 24 \):
\[
(6 + y)^2 — y^2 = 24;
\]
\[
36 + 12y + y^2 — y^2 = 24;
\]
\[
12y = -12, \quad y = -1;
\]
Подставим \( y = -1 \) в \( |x| = 6 + y \):
\[
|x| = 5, \quad x = \pm 5;
\]

Ответ: \( (-5; 1), (-5; -1), (5; -1), (5; 1) \).

г) \( \begin{cases} |x| — |y| = 4, \\ x^2 + y^2 = 41. \end{cases} \)

1. Рассмотрим два случая для \( x \):

Для \( x \geq 0 \):

\[
|y| = x — 4;
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 + y^2 = 41 \):
\[
x^2 + (x — 4)^2 = 41;
\]
\[
x^2 + x^2 — 8x + 16 = 41;
\]
\[
2x^2 — 8x — 25 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = 8^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 264, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{264}}{4}, \quad y = x — 4;
\]

Для \( x < 0 \):

\[
|y| = -x — 4;
\]
Подставим это в уравнение \( x^2 + y^2 = 41 \):
\[
x^2 + (x + 4)^2 = 41;
\]
\[
x^2 + x^2 + 8x + 16 = 41;
\]
\[
2x^2 + 8x — 25 = 0;
\]
Вычислим дискриминант:
\[
D = 8^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 264, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{264}}{4}, \quad y = -x — 4;
\]

Ответ: \( \left(\frac{4 + \sqrt{66}}{2}; \frac{-4 + \sqrt{66}}{2}\right), \, \left(\frac{4 — \sqrt{66}}{2}; \frac{-4 — \sqrt{66}}{2}\right), \, \left(\frac{-4 + \sqrt{66}}{2}; \frac{4 — \sqrt{66}}{2}\right), \, \left(\frac{-4 — \sqrt{66}}{2}; \frac{4 + \sqrt{66}}{2}\right). \)