ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 491 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {2x^2-xy=y^2+5, x^2-xy=y^2+1};

б) {3x^2-2y^2=2xy-1, 2x^2-y^2=2xy-1}.

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 — xy = y^2 + 5, \\
x^2 — xy = y^2 + 1.
\end{cases}
\]

Разность уравнений:
\[
x^2 = 4, \quad x = \pm 2;
\]

Первое значение:
\[
4 + 2y = y^2 + 1;
\]

\[
y^2 — 2y — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

Второе значение:
\[
4 — 2y = y^2 + 1;
\]

\[
y^2 + 2y — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\]

Ответ:

\[
(-2; -1); \, (-2; 3); \, (2; -3); \, (2; 1).
\]

b)
\[
\begin{cases}
3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1, \\
2x^2 — y^2 = 2xy — 1.
\end{cases}
\]

Разность уравнений:
\[
x^2 — y^2 = 0;
\]

\[
(x + y)(x — y) = 0;
\]

\[
x_1 = -y, \quad x_2 = y;
\]

Первое значение:
\[
2y^2 — y^2 = 2y \cdot (-y) — 1;
\]

\[
y^2 = -2y^2 — 1;
\]

\[
3y^2 = -1, \quad y \in \emptyset;
\]

Второе значение:
\[
2y^2 — y^2 = 2y \cdot y — 1;
\]

\[
y^2 = 2y^2 — 1;
\]

\[
y^2 = 1, \quad y = \pm 1;
\]

Ответ:

\[
(-1; -1); \, (1; 1).
\]

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 2x^2 — xy = y^2 + 5, \\ x^2 — xy = y^2 + 1. \end{cases} \)

1. Для решения начнем с вычитания второго уравнения из первого. Это поможет избавиться от однотипных выражений. Вычитаем уравнения:

\[
(2x^2 — xy) — (x^2 — xy) = (y^2 + 5) — (y^2 + 1);
\]

\[
2x^2 — xy — x^2 + xy = y^2 + 5 — y^2 — 1;
\]

\[
x^2 = 4, \quad x = \pm 2;
\]
Мы нашли, что \( x \) может быть либо 2, либо -2.

2. Подставим оба значения \( x \) в одно из уравнений и решим для \( y \). Начнем с \( x = 2 \).

Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение:

\[
2^2 — 2y = y^2 + 5;
\]

\[
4 — 2y = y^2 + 5;
\]
Переносим все члены на одну сторону:

\[
4 — 2y — y^2 — 5 = 0;
\]

\[
-y^2 — 2y — 1 = 0;
\]
Умножаем на -1, чтобы привести уравнение в стандартный вид:
\[
y^2 + 2y + 3 = 0;
\]
Для решения этого уравнения вычислим дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8;
\]
Так как дискриминант отрицателен (\( D < 0 \)), у этого уравнения нет действительных корней, и решение для \( y \) не существует при \( x = 2 \).

Теперь подставим \( x = -2 \) в первое уравнение:

\[
(-2)^2 — (-2)y = y^2 + 5;
\]

\[
4 + 2y = y^2 + 5;
\]
Переносим все члены на одну сторону:
\[
4 + 2y — y^2 — 5 = 0;
\]

\[
-y^2 + 2y — 1 = 0;
\]
Умножаем на -1:
\[
y^2 — 2y + 1 = 0;
\]
Это уравнение можно факторизовать:
\[
(y — 1)^2 = 0;
\]
Таким образом, \( y = 1 \).

Итак, для \( x = -2 \) получаем \( y = 1 \).

3. Подставим второе значение \( x = 2 \) в другое уравнение (второе уравнение системы), чтобы найти второе возможное решение для \( y \).

\[
2^2 — 2y = y^2 + 1;
\]

\[
4 — 2y = y^2 + 1;
\]
Переносим все члены на одну сторону:
\[
4 — 2y — y^2 — 1 = 0;
\]

\[
-y^2 — 2y + 3 = 0;
\]
Умножаем на -1:
\[
y^2 + 2y — 3 = 0;
\]
Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 1} = -3, \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = 1;
\]

Ответ: \( (-2; -3), (-2; 1) \), но для \( x = 2 \), получаем другие результаты \( (2; -3), (2; 1) \).

б) \( \begin{cases} 3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1, \\ 2x^2 — y^2 = 2xy — 1. \end{cases} \)

1. Вычитаем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от однотипных выражений:

\[
(3x^2 — 2y^2) — (2x^2 — y^2) = (2xy — 1) — (2xy — 1);
\]

\[
x^2 — y^2 = 0;
\]
Это разложится на множители:
\[
(x + y)(x — y) = 0;
\]
Таким образом, мы получаем два случая:
\[
x_1 = -y, \quad x_2 = y;
\]

2. Подставим значения \( x \) в одно из уравнений и решим для \( y \):

Для \( x = -y \):

\[
2y^2 — y^2 = 2y \cdot (-y) — 1;
\]

\[
y^2 = -2y^2 — 1;
\]

\[
3y^2 = -1, \quad y \in \emptyset;
\]
Так как дискриминант отрицателен (\( 3y^2 = -1 \)), решение не существует.

Для \( x = y \):

\[
2y^2 — y^2 = 2y \cdot y — 1;
\]

\[
y^2 = 2y^2 — 1;
\]

\[
y^2 = 1, \quad y = \pm 1;
\]

Ответ: \( (-1; -1), (1; 1) \).