ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 490 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {2x^2+4xy-5y=1, x^2+xy-6y^2=0};

б) {x(3x-2y)=y^2, 3y^2=2x(x+2)-3}.

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 + 4xy — 5y = 1, \\
x^2 + xy — 6y^2 = 0.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 + xy — 6y^2 = 0;
\]

\[
D = y^2 + 4 \cdot 6y^2 = y^2 + 24y^2 = 25y^2, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-y — 5y}{2} = -3y, \quad x_2 = \frac{-y + 5y}{2} = 2y;
\]

Первое значение:
\[
2 \cdot 9y^2 + 4y \cdot (-3y) — 5y = 1;
\]

\[
18y^2 — 12y^2 — 5y — 1 = 0;
\]

\[
6y^2 — 5y — 1 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{6}, \quad y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = 1;
\]

\[
x_1 = -3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -3 \cdot 1 = -3;
\]

Второе значение:
\[
2 \cdot 4y^2 + 4y \cdot 2y — 5y = 1;
\]

\[
8y^2 + 8y^2 — 5y — 1 = 0;
\]

\[
16y^2 — 5y — 1 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 16 = 25 + 64 = 89, \text{ тогда:}
\]

\[
y = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}, \quad x = 2 \cdot \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{16};
\]

Ответ

\[
\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right); \, (-3; 1); \, \left(\frac{5 \pm \sqrt{89}}{16}; \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}\right).
\]

b)
\[
\begin{cases}
x(3x — 2y) = y^2, \\
3y^2 = 2x(x + 2) — 3.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\[
3x^2 — 2xy — y^2 = 0;
\]

\[
D = (2y)^2 + 4 \cdot 3y^2 = 4y^2 + 12y^2 = 16y^2, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{2y — 4y}{2 \cdot 3} = -\frac{y}{3}, \quad x_2 = \frac{2y + 4y}{2 \cdot 3} = y;
\]

Первое значение:
\[
3y^2 = -\frac{2y}{3} \left(-\frac{y}{3} + 2\right) — 3;
\]

\[
3y^2 = \frac{2y^2}{9} — \frac{4y}{3} — 3;
\]

\[
18y^2 = 2y^2 — 8y — 27;
\]

\[
16y^2 + 8y + 18 = 0;
\]

\[
8y^2 + 4y + 9 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 8 \cdot 9 = -272;
\]

\[
D < 0, \text{ значит } y \in \emptyset;
\]

Второе значение:
\[
3y^2 = 2y(y + 2) — 3;
\]

\[
3y^2 = 2y^2 + 4y — 3;
\]

\[
y^2 — 4y + 3 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

Ответ:

\((1; 1); (3; 3)\).

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 2x^2 + 4xy — 5y = 1, \\ x^2 + xy — 6y^2 = 0. \end{cases} \)

1. Второе уравнение: \( x^2 + xy — 6y^2 = 0 \).

Решим относительно \( x \), раскроем дискриминант:

\[
D = y^2 + 4 \cdot 6y^2 = y^2 + 24y^2 = 25y^2, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{-y — 5y}{2} = -3y, \quad x_2 = \frac{-y + 5y}{2} = 2y;
\]

2. Подставим значения \( x \) в первое уравнение и решим для \( y \):

Для \( x_1 = -3y \):

\[
2 \cdot 9y^2 + 4y \cdot (-3y) — 5y = 1;
\]
\[
18y^2 — 12y^2 — 5y — 1 = 0;
\]
\[
6y^2 — 5y — 1 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \quad \text{тогда:}
\]
\[
y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{6}, \quad y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = 1;
\]
\[
x_1 = -3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -3 \cdot 1 = -3;
\]

Для \( x_2 = 2y \):

\[
2 \cdot 4y^2 + 4y \cdot 2y — 5y = 1;
\]
\[
8y^2 + 8y^2 — 5y — 1 = 0;
\]
\[
16y^2 — 5y — 1 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 16 = 25 + 64 = 89, \quad \text{тогда:}
\]
\[
y = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}, \quad x = 2 \cdot \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{16};
\]

Ответ: \( \left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right), (-3; 1), \left(\frac{5 \pm \sqrt{89}}{16}; \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}\right) \).

б) \( \begin{cases} x(3x — 2y) = y^2, \\ 3y^2 = 2x(x + 2) — 3. \end{cases} \)

1. Первое уравнение: \( x(3x — 2y) = y^2 \).

Раскроем его:

\[
3x^2 — 2xy — y^2 = 0;
\]

Вычислим дискриминант для уравнения относительно \( x \):

\[
D = (2y)^2 + 4 \cdot 3y^2 = 4y^2 + 12y^2 = 16y^2, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{2y — 4y}{2 \cdot 3} = -\frac{y}{3}, \quad x_2 = \frac{2y + 4y}{2 \cdot 3} = y;
\]

2. Подставим значения \( x \) во второе уравнение и решим для \( y \):

Для \( x_1 = -\frac{y}{3} \):

\[
3y^2 = -\frac{2y}{3} \left(-\frac{y}{3} + 2\right) — 3;
\]
\[
3y^2 = \frac{2y^2}{9} — \frac{4y}{3} — 3;
\]
\[
18y^2 = 2y^2 — 8y — 27;
\]
\[
16y^2 + 8y + 18 = 0;
\]
\[
8y^2 + 4y + 9 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 8 \cdot 9 = -272;
\]

Так как \( D < 0 \), решение для этого случая не существует: \( y \in \emptyset \).

Для \( x_2 = y \):

\[
3y^2 = 2y(y + 2) — 3;
\]
\[
3y^2 = 2y^2 + 4y — 3;
\]
\[
y^2 — 4y + 3 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}
\]
\[
y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

Ответ: \( (1; 1), (3; 3) \).