ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 489 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {xy=-2, (x-y)^2+x+y=10};

б) {(x^2+y^2)(x^3+y^3)=32, x+y=2}.

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
xy = -2, \\
(x — y)^2 + x + y = 10.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 — 2xy + y^2 + x + y = 10;
\]

\[
x^2 + 2xy + y^2 + x + y — 4xy = 10;
\]

\[
(x + y)^2 + (x + y) + 8 — 10 = 0;
\]

\[
(x + y)^2 + (x + y) — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
(x + y)_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_1 = -x — 2;
\]

\[
(x + y)_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad y_2 = 1 — x;
\]

Первое значение:
\[
x(-x — 2) = -2;
\]

\[
x^2 + 2x — 2 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12, \text{ тогда:}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3};
\]

\[
y = 1 \mp \sqrt{3} — 2 = -1 \mp \sqrt{3};
\]

Второе значение:

\[
x(1 — x) = -2;
\]

\[
x^2 — x — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]

\[
y_1 = 1 + 1 = 2, \quad y_2 = 1 — 2 = -1;
\]

Ответ:

\((-1; 2); (2; -1); (-1 \pm \sqrt{3}; -1 \mp \sqrt{3})\).

b)
\[
\begin{cases}
(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = 32, \\
x + y = 2.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
((x + y)^2 — 2xy)(x + y)(x^2 — xy + y^2) = 32;
\]

\[
(4 — 2xy) \cdot 2 \cdot ((x + y)^2 — 3xy) = 32;
\]

\[
4(2 — xy)(4 — 3xy) = 32;
\]

\[
8 — 6xy — 4xy + 3x^2y^2 = 8;
\]

\[
3x^2y^2 — 10xy = 0;
\]

\[
xy(3xy — 10) = 0;
\]

\[
x_1 = 0, \quad y_1 = 0, \quad y_2 = \frac{10}{3x}.
\]

Первое значение:

\[
0 + y = 2, \quad y = 2;
\]

\[
x + 0 = 2, \quad x = 2;
\]

Второе значение:

\[
x + \frac{10}{3x} = 2;
\]

\[
3x^2 — 6x + 10 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = -84;
\]

\[
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\]

Ответ:

\((0; 2); (2; 0)\).

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} xy = -2, \\ (x — y)^2 + x + y = 10. \end{cases} \)

1. Второе уравнение: \( (x — y)^2 + x + y = 10 \).

Раскроем скобки в первом уравнении:

\[
(x — y)^2 + x + y = 10;
\]

\[
x^2 — 2xy + y^2 + x + y = 10;
\]

Подставим выражение \( xy = -2 \) из первого уравнения в полученное уравнение:

\[
x^2 + 2xy + y^2 + x + y — 4xy = 10;
\]
\[
(x + y)^2 + (x + y) + 8 — 10 = 0;
\]
\[
(x + y)^2 + (x + y) — 2 = 0;
\]

2. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( x + y \):

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\]
\[
(x + y)_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_1 = -x — 2;
\]
\[
(x + y)_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad y_2 = 1 — x;
\]

3. Подставим значения \( x + y \) в первое уравнение \( xy = -2 \) и решим для \( x \) и \( y \):

Для \( (x + y)_1 = -2 \):

\[
x(-x — 2) = -2;
\]
\[
x^2 + 2x — 2 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3};
\]
\[
y = 1 \mp \sqrt{3} — 2 = -1 \mp \sqrt{3};
\]

Для \( (x + y)_2 = 1 \):

\[
x(1 — x) = -2;
\]
\[
x^2 — x — 2 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\]
\[
y_1 = 1 + 1 = 2, \quad y_2 = 1 — 2 = -1;
\]

Ответ: \( (-1; 2), (2; -1), (-1 \pm \sqrt{3}, -1 \mp \sqrt{3}) \).

б) \( \begin{cases} (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = 32, \\ x + y = 2. \end{cases} \)

1. Первое уравнение: \( (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = 32 \).

Используем формулы для суммы кубов и квадратов:

\[
(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = (x + y)((x + y)^2 — 3xy)(x + y) = 32;
\]
\[
(4 — 2xy) \cdot 2 \cdot ((x + y)^2 — 3xy) = 32;
\]
\[
4(2 — xy)(4 — 3xy) = 32;
\]
\[
8 — 6xy — 4xy + 3x^2y^2 = 8;
\]
\[
3x^2y^2 — 10xy = 0;
\]
\[
xy(3xy — 10) = 0;
\]

2. Рассмотрим два случая:

Для \( xy = 0 \):

\[
0 + y = 2, \quad y = 2;
\]
\[
x + 0 = 2, \quad x = 2;
\]

Для \( 3xy — 10 = 0 \):

\[
x + \frac{10}{3x} = 2;
\]
\[
3x^2 — 6x + 10 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = -84;
\]

Так как \( D < 0 \), решение для этого случая не существует: \( x \in \emptyset \).

Ответ: \( (0; 2), (2; 0) \).