ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 488 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {7xy+2x^2-5y^2=0, x^2-5xy+y=-11};

б) {6x^2+2xy-3x-y=0, 2x^2-y^2+2x+y=3/2}.

Решить систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0, \\
x^2 — 5xy + y = -11.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
2x^2 + 7xy — 4y^2 = 0;
\]

\[
D = (7y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4y^2;
\]

\[
D = 49y^2 + 32y^2 = 81y^2, \text{ тогда:}
\]

\[
x_2 = \frac{-7y — 9y}{2 \cdot 2} = \frac{-16y}{4} = -4y;
\]

\[
x_2 = \frac{-7y + 9y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2};
\]

Первое значение:
\[
(-4y)^2 — 5y \cdot (-4y) + y = -11;
\]

\[
16y^2 + 20y^2 + y = -11;
\]

\[
36y^2 + y + 11 = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 36 \cdot 11 = -1583;
\]

\[
D < 0, \text{ значит } y \in \emptyset;
\]

Второе значение:
\[
\left(\frac{y}{2}\right)^2 — 5y \cdot \frac{y}{2} + y = -11;
\]

\[
\frac{y^2}{4} — \frac{5y^2}{2} + y = -11;
\]

\[
y^2 — 10y^2 + 4y = -44;
\]

\[
9y^2 — 4y — 44 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 9 \cdot 44 = 16 + 1584 = 1600, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{4 — 40}{2 \cdot 9} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 40}{2 \cdot 9} = \frac{44}{18} = \frac{2 \cdot 4}{9};
\]

\[
x_1 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{9};
\]

Ответ: \((-1; -2); \left(\frac{2}{9}; \frac{4}{9}\right)\).

b)
\[
\begin{cases}
6x^2 + 2xy — 3x — y = 0, \\
2x^2 — y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
2x(3x + y) — (3x + y) = 0;
\]

\[
(2x — 1)(3x + y) = 0;
\]

\[
x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{y}{3};
\]

Первое значение:
\[
2 \cdot \frac{1}{4} — y^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + y = \frac{3}{2};
\]

\[
1 — 2y^2 + 2 + 2y = 3;
\]

\[
2y^2 — 2y = 0;
\]

\[
2y(y — 1) = 0;
\]

\[
y_1 = 0, \quad y_2 = 1;
\]

Второе значение:
\[
2 \cdot \frac{y^2}{9} — y^2 + 2 \cdot \left(-\frac{y}{3}\right) + y = \frac{3}{2};
\]

\[
4y^2 — 18y^2 — 12y + 18y = 27;
\]

\[
14y^2 — 6y + 27 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 14 \cdot 27 = -1476;
\]

\[
D < 0, \text{ значит } y \in \emptyset;
\]

Ответ: \((0,5; 0); (0,5; 1)\).

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0, \\ x^2 — 5xy + y = -11. \end{cases} \)

1. Первое уравнение: \( 7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0 \).

Перепишем его в удобном виде:

\[
2x^2 + 7xy — 4y^2 = 0;
\]

2. Рассчитаем дискриминант для уравнения относительно \( x \):

\[
D = (7y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4y^2 = 49y^2 + 32y^2 = 81y^2;
\]

3. Найдем два значения для \( x \):

\[
x_1 = \frac{-7y — 9y}{2 \cdot 2} = \frac{-16y}{4} = -4y;
\]

\[
x_2 = \frac{-7y + 9y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2};
\]

4. Подставим каждое значение \( x \) во второе уравнение системы и решим относительно \( y \):

Для \( x_1 = -4y \):

\[
(-4y)^2 — 5y \cdot (-4y) + y = -11;
\]

\[
16y^2 + 20y^2 + y = -11;
\]

\[
36y^2 + y + 11 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 36 \cdot 11 = -1583;
\]

Так как \( D < 0 \), решение для этого случая не существует: \( y \in \emptyset \).

Для \( x_2 = \frac{y}{2} \):

\[
\left(\frac{y}{2}\right)^2 — 5y \cdot \frac{y}{2} + y = -11;
\]

\[
\frac{y^2}{4} — \frac{5y^2}{2} + y = -11;
\]

Умножим на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[
y^2 — 10y^2 + 4y = -44;
\]

\[
-9y^2 + 4y — 44 = 0;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot (-9) \cdot (-44) = 16 + 1584 = 1600;
\]

Теперь находим корни для \( y \):

\[
y_1 = \frac{-4 — 40}{2 \cdot (-9)} = -2, \quad y_2 = \frac{-4 + 40}{2 \cdot (-9)} = \frac{44}{18} = \frac{2}{9};
\]

Теперь находим соответствующие значения \( x \):

\[
x_1 = -1, \quad x_2 = \frac{2}{9};
\]

Ответ: \( (-1; -2) \) и \( \left( \frac{2}{9}; \frac{4}{9} \right) \).

б) \( \begin{cases} 6x^2 + 2xy — 3x — y = 0, \\ 2x^2 — y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}. \end{cases} \)

1. Первое уравнение: \( 6x^2 + 2xy — 3x — y = 0 \).

Приведем его к удобному виду:

\[
2x(3x + y) — (3x + y) = 0;
\]

\[
(2x — 1)(3x + y) = 0;
\]

2. Получаем два случая для \( x \):

\[
x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{y}{3};
\]

3. Подставим значения \( x \) во второе уравнение и решим для \( y \):

Для \( x_1 = \frac{1}{2} \):

\[
2 \cdot \frac{1}{4} — y^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + y = \frac{3}{2};
\]

\[
1 — 2y^2 + 2 + 2y = 3;
\]

\[
-2y^2 + 2y + 3 = 3;
\]

\[
2y^2 — 2y = 0;
\]

\[
2y(y — 1) = 0;
\]

Получаем два значения для \( y \):

\[
y_1 = 0, \quad y_2 = 1;
\]

Для \( x_2 = -\frac{y}{3} \):

\[
2 \cdot \frac{y^2}{9} — y^2 + 2 \cdot \left(-\frac{y}{3}\right) + y = \frac{3}{2};
\]

\[
\frac{2y^2}{9} — y^2 — \frac{2y}{3} + y = \frac{3}{2};
\]

Умножим на 9 для удобства:

\[
2y^2 — 9y^2 — 6y + 9y = 13.5;
\]

\[
-7y^2 + 3y = 13.5;
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 3^2 — 4 \cdot (-7) \cdot 13.5 = -1476;
\]

Так как \( D < 0 \), решение для этого случая не существует: \( y \in \emptyset \).

Ответ: \( (0,5; 0), (0,5; 1) \).