ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 488 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}7xy+2x^2-4y^2=0\\ x^2-5xy+y=-11\end{array}$$

б)

$$\begin{cases} 6x^2 + 2xy — 3x — y = 0 \\ 2x^2 — y^2 + 2x + y = \dfrac{3}{2} \end{cases};$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} 7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0 \\ x^2 — 5xy + y = -11 \end{cases};$$

Первое уравнение:
$2x^2 + 7xy — 4y^2 = 0;$
$D = (7y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4y^2;$
$D = 49y^2 + 32y^2 = 81y^2,$ тогда:
$x_2 = \dfrac{-7y — 9y}{2 \cdot 2} = \dfrac{-16y}{4} = -4y;$
$x_2 = \dfrac{-7y + 9y}{2 \cdot 2} = \dfrac{2y}{4} = \dfrac{y}{2};$

Первое значение:
$(-4y)^2 — 5y \cdot (-4y) + y = -11;$
$16y^2 + 20y^2 + y = -11;$
$36y^2 + y + 11 = 0;$
$D = 1^2 — 4 \cdot 36 \cdot 11 = -1583;$
$D < 0,$ значит $y \in \varnothing;$

Второе значение:
$\left(\dfrac{y}{2}\right)^2 — 5y \cdot \dfrac{y}{2} + y = -11;$
$\dfrac{y^2}{4} — \dfrac{5y^2}{2} + y = -11;$
$y^2 — 10y^2 + 4y = -44;$
$9y^2 — 4y — 44 = 0;$
$D = 4^2 + 4 \cdot 9 \cdot 44 = 16 + 1584 = 1600,$ тогда:
$y_1 = \dfrac{4 — 40}{2 \cdot 9} = -2$ и $y_2 = \dfrac{4 + 40}{2 \cdot 9} = \dfrac{44}{18} = 2\dfrac{4}{9};$
$x_1 = -\dfrac{2}{2} = -1$ и $x_2 = 2\dfrac{4}{9} : 2 = 1\dfrac{2}{9};$

Ответ: $(-1; -2); \left(1\dfrac{2}{9}; 2\dfrac{4}{9}\right).$

б)

$$\begin{cases} 6x^2 + 2xy — 3x — y = 0 \\ 2x^2 — y^2 + 2x + y = \dfrac{3}{2} \end{cases};$$

Первое уравнение:
$2x(3x + y) — (3x + y) = 0;$
$(2x — 1)(3x + y) = 0;$
$x_1 = \dfrac{1}{2},\ x_2 = -\dfrac{y}{3};$

Первое значение:
$2 \cdot \dfrac{1}{4} — y^2 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + y = \dfrac{3}{2};$
$1 — 2y^2 + 2 + 2y = 3;$
$2y^2 — 2y = 0;$
$2y(y — 1) = 0;$
$y_1 = 0,\ y_2 = 1;$

Второе значение:
$2 \cdot \dfrac{y^2}{9} — y^2 + 2 \cdot \left(-\dfrac{y}{3}\right) + y = \dfrac{3}{2};$
$4y^2 — 18y^2 — 12y + 18y = 27;$
$14y^2 — 6y + 27 = 0;$
$D = 6^2 — 4 \cdot 14 \cdot 27 = -1476;$
$D < 0,$ значит $y \in \varnothing;$

Ответ: $(0,5; 0); (0,5; 1).$

а)

$$\begin{cases} 7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0 \quad \text{(1)} \\ x^2 — 5xy + y = -11 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение (1)

Упорядочим его:

$$2x^2 + 7xy — 4y^2 = 0$$

Рассматриваем как квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$$2x^2 + 7xy — 4y^2 = 0$$

Это квадратное уравнение имеет вид:

$$Ax^2 + Bx + C = 0, \quad \text{где } A = 2,\ B = 7y,\ C = -4y^2$$

Шаг 2. Найдём дискриминант

$$D = B^2 — 4AC = (7y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4y^2)$$ $$D = 49y^2 + 32y^2 = 81y^2$$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два корня по $x$, выраженных через $y$.

Шаг 3. Найдём корни

$$x = \frac{-7y \pm \sqrt{81y^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-7y \pm 9y}{4}$$

Первый корень:

$$x_1 = \frac{-7y + 9y}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}$$

Второй корень:

$$x_2 = \frac{-7y — 9y}{4} = \frac{-16y}{4} = -4y$$

Теперь подставим оба значения $x$ в уравнение (2), чтобы найти соответствующие значения $y$.

Шаг 4. Подстановка $x = -4y$ в уравнение (2):

Уравнение (2):

$$x^2 — 5xy + y = -11$$

Подставим $x = -4y$:

$$(-4y)^2 — 5(-4y)(y) + y = -11$$ $$16y^2 + 20y^2 + y = -11$$ $$36y^2 + y + 11 = 0$$

Проверим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 36 \cdot 11 = 1 — 1584 = -1583$$

Так как дискриминант отрицательный, действительных решений нет.

Вывод: значение $x = -4y$ не даёт решений.

Шаг 5. Подстановка $x = \frac{y}{2}$ в уравнение (2):

$$\left(\frac{y}{2}\right)^2 — 5y \cdot \frac{y}{2} + y = -11$$ $$\frac{y^2}{4} — \frac{5y^2}{2} + y = -11$$

Приведём всё к общему знаменателю (домножим обе части уравнения на 4):

$$y^2 — 10y^2 + 4y = -44$$ $$-9y^2 + 4y + 44 = 0 \quad \Rightarrow \quad 9y^2 — 4y — 44 = 0$$

Теперь найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-44) = 16 + 1584 = 1600$$

Корни:

$$y = \frac{4 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 9} = \frac{4 \pm 40}{18}$$

Первый корень:

$$y_1 = \frac{4 — 40}{18} = \frac{-36}{18} = -2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{y_1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{4 + 40}{18} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9} = 2\dfrac{4}{9} \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{y_2}{2} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9} = 1\dfrac{2}{9}$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{(-1;\ -2);\quad \left(1\dfrac{2}{9};\ 2\dfrac{4}{9}\right)}$$

б)

$$\begin{cases} 6x^2 + 2xy — 3x — y = 0 \quad \text{(1)} \\ 2x^2 — y^2 + 2x + y = \dfrac{3}{2} \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Упростим первое уравнение

Группируем:

$$6x^2 + 2xy — 3x — y = 0 \Rightarrow 2x(3x + y) — (3x + y) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(2x — 1)(3x + y) = 0$$

Решения:

1. $2x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
2. $3x + y = 0 \Rightarrow x = -\frac{y}{3}$

Подставим оба значения в уравнение (2).

Шаг 2. Подстановка $x = \frac{1}{2}$ в (2):

Уравнение (2):

$$2x^2 — y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}$$

Подставим:

$$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — y^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + y = \frac{3}{2}$$ $$2 \cdot \frac{1}{4} — y^2 + 1 + y = \frac{3}{2}$$ $$\frac{1}{2} — y^2 + 1 + y = \frac{3}{2} \Rightarrow -y^2 + y + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей:

$$-y^2 + y = 0 \Rightarrow y(-y + 1) = 0 \Rightarrow y = 0 \quad \text{или} \quad y = 1$$

Решения:
$(x, y) = \left(\frac{1}{2}, 0\right)$ и $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

Шаг 3. Подстановка $x = -\frac{y}{3}$ в (2):

$$2x^2 — y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}$$

Подставим:

$$x = -\frac{y}{3}, \quad x^2 = \frac{y^2}{9}, \quad 2x = -\frac{2y}{3}$$

Подставляем всё:

$$2 \cdot \frac{y^2}{9} — y^2 — \frac{2y}{3} + y = \frac{3}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2y^2}{9} — y^2 + \frac{y}{3} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{2y^2 — 9y^2 + 3y}{9} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{-7y^2 + 3y}{9} = \frac{3}{2}$$

Умножим обе части на 18:

$$-14y^2 + 6y = 27 \Rightarrow 14y^2 — 6y + 27 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 14 \cdot 27 = 36 — 1512 = -1476 < 0$$

Вывод: решений нет.

Ответ к пункту б:

$$\boxed{\left(\frac{1}{2};\ 0\right);\quad \left(\frac{1}{2};\ 1\right)}$$