ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 484 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {x^2-y^2=3, xy=-2};

б) {x^2+y^2=5/16, 8xy=1};

в) {2xy=-1, x^2-y^2=3/4}.

a)
\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 3, \\
xy = -2.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
y = -\frac{2}{x};
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 — \frac{4}{x^2} = 3;
\]

\[
x^4 — 3x^2 — 4 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2^2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;
\]

\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2;
\]

\[
y_1 \notin \mathbb{R}, \quad y_2 = -\frac{2}{\pm 2} = \pm 1;
\]

Ответ: (-2; 1); (2; -1).

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = \frac{5}{16}, \\
8xy = 1.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
y = \frac{1}{8x};
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 + \frac{1}{64x^2} = \frac{5}{16};
\]

\[
64x^4 — 20x^2 + 1 = 0;
\]

\[
D = 20^2 — 4 \cdot 64 \cdot 1 = 400 — 256 = 144, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{20 — 12}{2 \cdot 64} = \frac{1}{16}, \quad x_2^2 = \frac{20 + 12}{2 \cdot 64} = \frac{1}{4};
\]

\[
x_1 = \pm \frac{1}{4}, \quad x_2 = \pm \frac{1}{2};
\]

\[
y_1 = \frac{1}{8 \cdot \pm \frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1}{8 \cdot \pm \frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{4};
\]

Ответ:
\[
\left(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right), \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right).
\]

в)
\[
\begin{cases}
2xy = -1, \\
x^2 — y^2 = \frac{3}{4}.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
y = -\frac{1}{2x};
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 — \frac{1}{4x^2} = \frac{3}{4};
\]

\[
4x^4 — 3x^2 — 1 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}, \quad x_2^2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = 1;
\]

\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = \pm \sqrt{1} = \pm 1;
\]

\[
y_1 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2};
\]

Текст, извлечённый из изображения:

Ответ:

\[
(-1; \frac{1}{2}), \quad (1; -\frac{1}{2}).
\]

Решение системы уравнений:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 — y^2 = 3 \\
xy = -2
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( y = -\frac{2}{x} \)

2) Подставим \( y = -\frac{2}{x} \) в первое уравнение:

\( x^2 — \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 3 \)

3) Упростим:

\( x^2 — \frac{4}{x^2} = 3 \)

4) Умножим обе стороны на \( x^2 \), чтобы избавиться от дробей:

\( x^4 — 4 = 3x^2 \)

5) Переносим все члены в одну сторону:

\( x^4 — 3x^2 — 4 = 0 \)

6) Пусть \( z = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( z^2 — 3z — 4 = 0 \)

7) Вычислим дискриминант:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)

8) Корни уравнения:

\( z_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad z_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

9) Так как \( z = x^2 \), для \( z_1 = -1 \) нет решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным.

Для \( z_2 = 4 \), \( x = \pm 2 \)

10) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 2 \), \( y_1 = -\frac{2}{2} = -1 \).

Для \( x_2 = -2 \), \( y_2 = -\frac{2}{-2} = 1 \).

Ответ: \( (-2; 1), (2; -1) \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\
8xy = 1
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( xy = \frac{1}{8} \), \quad \( y = \frac{1}{8x} \)

2) Подставим \( y = \frac{1}{8x} \) в первое уравнение:

\( x^2 + \left(\frac{1}{8x}\right)^2 = \frac{5}{16} \)

3) Упростим:

\( x^2 + \frac{1}{64x^2} = \frac{5}{16} \)

4) Умножим обе стороны на 64x², чтобы избавиться от дробей:

\( 64x^4 + 1 = 20x^2 \)

5) Переносим все члены в одну сторону:

\( 64x^4 — 20x^2 + 1 = 0 \)

6) Пусть \( z = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( 64z^2 — 20z + 1 = 0 \)

7) Вычислим дискриминант:

\( D = (-20)^2 — 4 \cdot 64 \cdot 1 = 400 — 256 = 144 \)

8) Корни уравнения:

\( z_1 = \frac{20 — 12}{2 \cdot 64} = \frac{1}{16}, \quad z_2 = \frac{20 + 12}{2 \cdot 64} = \frac{1}{4} \)

9) Так как \( z = x^2 \), для \( z_1 = \frac{1}{16} \), \( x_1 = \pm \frac{1}{4} \); для \( z_2 = \frac{1}{4} \), \( x_2 = \pm \frac{1}{2} \)

10) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = \frac{1}{4} \), \( y_1 = \frac{1}{8 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \).

Для \( x_2 = \frac{1}{2} \), \( y_2 = \frac{1}{8 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \( \left(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right), \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) \).

в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
2xy = -1 \\
x^2 — y^2 = \frac{3}{4}
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения:

\( y = -\frac{1}{2x} \)

2) Подставим \( y = -\frac{1}{2x} \) во второе уравнение:

\( x^2 — \left(-\frac{1}{2x}\right)^2 = \frac{3}{4} \)

3) Упростим:

\( x^2 — \frac{1}{4x^2} = \frac{3}{4} \)

4) Умножим обе стороны на 4x²:

\( 4x^4 — 1 = 3x^2 \)

5) Переносим все члены в одну сторону:

\( 4x^4 — 3x^2 — 1 = 0 \)

6) Пусть \( z = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( 4z^2 — 3z — 1 = 0 \)

7) Вычислим дискриминант:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \)

8) Корни уравнения:

\( z_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{4}, \quad z_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = 1 \)

9) Для \( z_1 = -\frac{1}{4} \) нет решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным.

Для \( z_2 = 1 \), \( x_2 = \pm 1 \)

10) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_2 = 1 \), \( y_2 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \).

Ответ:

\[
(-1; \frac{1}{2}), \quad (1; -\frac{1}{2}).
\]