ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 483 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {xy-2x=-2, y-xy=9};

б) {x-2xy=-10, y+xy=2};

в) {x+y+xy=7, x-y-2xy=-4};

г) {3x+y+2xy=-6, x+y+xy=-6}.

a)
\[
\begin{cases}
xy — 2x = -2, \\
y — xy = 9.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
xy = y — 9;
\]

Первое уравнение:
\[
y — 9 — 2x = -2; \quad y = 2x + 7;
\]

Второе уравнение:
\[
x(2x + 7) = 2x + 7 — 9;
\]

\[
2x^2 + 7x = 2x + 7 — 9;
\]

\[
2x^2 + 5x + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\]

\[
y_1 = -4 + 7 = 3, \quad y_2 = -1 + 7 = 6;
\]

Ответ: (-2; 3); (-0.5; 6).

б)
\[
\begin{cases}
2xy = -10, \\
y + x = 2.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
xy = 2 — y;
\]

Первое уравнение:
\[
x — 2(2 — y) = -10;
\]

\[
x — 4 + 2y = -10; \quad x = -2y — 6;
\]

Второе уравнение:
\[
y + y(-2y — 6) = 2;
\]

\[
y — 2y^2 — 6y = 2;
\]

\[
2y^2 + 5y + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad y_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\]

\[
x_1 = 4 — 6 = -2, \quad x_2 = 1 — 6 = -5;
\]

Ответ: (-2; -2); (-5; -0.5).

в)
\[
\begin{cases}
x + y + xy = 7, \\
x — y — 2xy = -4.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
xy = 7 — x — y;
\]

Второе уравнение:

\[
x — y — 2(7 — x — y) = -4;
\]

\[
x — y — 14 + 2x + 2y = -4;
\]

\[
y = 10 — 3x;
\]

Первое уравнение:
\[
x + 10 — 3x + x(10 — 3x) = 7;
\]

\[
x + 10 — 3x + 10x — 3x^2 = 7;
\]

\[
3x^2 — 8x — 3 = 0;
\]

\[
D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 + 36 = 100, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = 3;
\]

\[
y_1 = 10 + 1 = 11, \quad y_2 = 10 — 9 = 1;
\]

Ответ \(-\frac{1}{3}; 11\); (3; 1).

г)
\[
\begin{cases}
3x + y + 2xy = -6, \\
x + y + xy = -6.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
xy = -6 — x — y;
\]

Первое уравнение:
\[
3x + y + 2(-6 — x — y) = -6;
\]

\[
3x + y — 12 — 2x — 2y = -6;
\]

\[
x = y + 6;
\]

Второе уравнение:
\[
y + 6 + y + y(y + 6) = -6;
\]

\[
y + 6 + y + y^2 + 6y = -6;
\]

\[
y^2 + 8y + 12 = 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-8 — 4}{2} = -6, \quad y_2 = \frac{-8 + 4}{2} = -2;
\]

\[
x_1 = -6 + 6 = 0, \quad x_2 = -2 + 6 = 4;
\]

Ответ: (0; -6); (4; -2).

Решение системы уравнений:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
xy — 2x = -2 \\
y — xy = 9
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( xy = y — 9 \), \quad \( y = \pm \sqrt{x^2 — 3} \)

2) Подставим \( y = \pm \sqrt{x^2 — 3} \) в первое уравнение:

\( 2x^2 + (x^2 — 3) = 9 \)

3) Упростим:

\( 2x^2 + x^2 — 3 = 9 \)

\( 3x^2 = 12 \)

\( x^2 = 4 \), \quad \( x = \pm 2 \)

4) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 2 \), \( y_1 = \pm \sqrt{4 — 3} = \pm 1 \).

Для \( x_2 = -2 \), \( y_2 = \pm \sqrt{4 — 3} = \pm 1 \).

Ответ: \( (-2; -1), (-2; 1), (2; -1), (2; 1) \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
3x^2 — 2y^2 = 1 \\
2x^2 — y^2 = 1
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( y^2 = 2x^2 — 1 \), \quad \( y = \pm \sqrt{2x^2 — 1} \)

2) Подставим \( y = \pm \sqrt{2x^2 — 1} \) в первое уравнение:

\( 3x^2 — 2(2x^2 — 1) = 1 \)

3) Упростим:

\( 3x^2 — 4x^2 + 2 = 1 \)

\( -x^2 + 2 = 1 \)

\( -x^2 = -1 \)

\( x^2 = 1 \), \quad \( x = \pm 1 \)

4) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -1 \), \( y_1 = \pm \sqrt{2(-1)^2 — 1} = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \).

Для \( x_2 = 1 \), \( y_2 = \pm \sqrt{2(1)^2 — 1} = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \).

Ответ: \( (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1) \).

в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 — 3y^2 — y = -6 \\
2x^2 — 3y^2 = -4
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( 2x^2 = 3y^2 — 4 \), \quad \( x^2 = \frac{3y^2 — 4}{2} \)

2) Подставим \( x^2 = \frac{3y^2 — 4}{2} \) в первое уравнение:

\( \frac{3y^2 — 4}{2} — 3y^2 — y = -6 \)

3) Умножим обе стороны на 2:

\( 3y^2 — 4 — 6y^2 — 2y = -12 \)

4) Упростим выражение:

\( -3y^2 — 2y — 4 = -12 \)

\( 3y^2 + 2y — 8 = 0 \)

5) Вычислим дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \)

6) Корни уравнения:

\( y_1 = -2, \quad y_2 = \frac{4}{3} \)

7) Найдем \( x \) для каждого значения \( y \):

Для \( y_1 = -2 \), \( x_1 = \pm \sqrt{\frac{12 — 4}{2}} = \pm 2 \).

Для \( y_2 = \frac{4}{3} \), \( x_2 = \pm \sqrt{\frac{16 — 12}{6}} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \).

Ответ: \( (-2; -2), (2; -2), \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{4}{3}\right), \left(\sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{4}{3}\right) \).

г)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
2x^2 + xy = 16 \\
3x^2 + xy — x = 18
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения:

\( xy = 16 — 2x^2 \), \quad \( y = \frac{16 — 2x^2}{x} \)

2) Подставим \( y = \frac{16 — 2x^2}{x} \) во второе уравнение:

\( 3x^2 + 16 — 2x^2 — x = 18 \)

3) Упростим:

\( x^2 — x — 2 = 0 \)

4) Вычислим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

5) Корни уравнения:

\( x_1 = -1, \quad x_2 = 2 \)

6) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -1 \), тогда \( y_1 = \frac{16 — 2(-1)^2}{-1} = -14 \).

Для \( x_2 = 2 \), тогда \( y_2 = \frac{16 — 2(2)^2}{2} = 4 \).

Ответ: \( (-1; -14), (2; 4) \).