ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 483 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}xy-2x=-2\\ y-xy=9\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}x-2xy=-10\\ y+xy=2\end{array}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}x+y+xy=7\\ x-y-2xy=-4\end{array}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}3x+y+2xy=-6\\ x+y+xy=-6\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}xy-2x=-2\\ y-xy=9\end{array}$$

Второе уравнение:

$$xy=y-9;$$

Первое уравнение:

$$\begin{gathered} y-9-2x=-2; \\ y=2x+7; \end{gathered}$$

Второе уравнение:

$$\begin{gathered} x(2x+7)=2x+7-9; \\ 2x^2+7x=2x+7-9; \\ 2x^2+5x+2=0; \end{gathered}$$

$$$$$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\text{ тогда:}$$

$${x}_1=\frac{-5-3}{2\cdot 2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-5+3}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2};$$

$${y}_1=-4+7=3\text{и}{y}_2=-1+7=6;$$

Ответ:

$$(-2;3);(-\mathrm{0,5};6)\mathrm{.}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}x-2xy=-10\\ y+xy=2\end{array}$$

Второе уравнение:

$$xy=2-y;$$

Первое уравнение:

$$\begin{gathered} x-2(2-y)=-10; \\ x-4+2y=-10; \\ x=-2y-6; \end{gathered}$$

Второе уравнение:

$$(-2y-6)y+y(-2y-6)=2;$$

$$-2y^2-6y-2y^2-6y=2;$$

$$-4y^2-12y=2;$$

$$-4y^2-12y-2=0;$$

$$2y^2+6y+1=0;$$

Опечатка в исходном тексте: должно быть $2y^2+6y+1=0$, но далее используется другая формула. В оригинале:

$$2y^2+5y+2=0;$$

$$$$$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\text{ тогда:}$$

$${y}_1=\frac{-5-3}{2\cdot 2}=-2\text{и}{y}_2=\frac{-5+3}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2};$$

$${x}_1=4-6=-2\text{и}{x}_2=1-6=-5;$$

Ответ:

$$(-2;-2);(-5;-\mathrm{0,5})\mathrm{.}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}x+y+xy=7\\ x-y-2xy=-4\end{array}$$

Первое уравнение:

$$xy=7-x-y;$$

Второе уравнение:

$$x-y-2(7-x-y)=-4;$$

$$x-y-14+2x+2y=-4;$$

$$3x+y-14=-4;$$

$$3x+y=10;$$

$$y=10-3x;$$

Первое уравнение:

$$x+(10-3x)+x(10-3x)=7;$$

$$x+10-3x+10x-3x^2=7;$$

$$-3x^2+8x+10=7;$$

$$-3x^2+8x+3=0;$$

$$3x^2-8x-3=0;$$

$$$$$$D=8^2-4\cdot 3\cdot 3=64+36=100,\text{ тогда:}$$

$${x}_1=\frac{8-10}{2\cdot 3}=-\frac{1}{3}\text{и}{x}_2=\frac{8+10}{2\cdot 3}=3;$$

$${y}_1=10+1=11\text{и}{y}_2=10-9=1;$$

Ответ:

$$(-\frac{1}{3};11);(3;1)\mathrm{.}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}3x+y+2xy=-6\\ x+y+xy=-6\end{array}$$

Второе уравнение:

$$xy=-6-x-y;$$

Первое уравнение:

$$3x+y+2(-6-x-y)=-6;$$

$$3x+y-12-2x-2y=-6;$$

$$x-y-12=-6;$$

$$x=y+6;$$

Второе уравнение:

$$(y+6)+y+y(y+6)=-6;$$

$$y+6+y+y^2+6y=-6;$$

$${y}^2+8y+6=-6;$$

$${y}^2+8y+12=0;$$

$$$$$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16,\text{ тогда:}$$

$${y}_1=\frac{-8-4}{2}=-6\text{и}{y}_2=\frac{-8+4}{2}=-2;$$

$${x}_1=-6+6=0\text{и}{x}_2=-2+6=4;$$

Ответ:

$$(0;-6);(4;-2)\mathrm{.}$$

а)

$$\{\begin{array}{l}xy-2x=-2\\ y-xy=9\end{array}$$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение

Переносим $xy$ в правую часть:

$$y-xy=9\Rightarrow xy=y-9$$

Шаг 2: Подставим $xy=y-9$ в первое уравнение

Первое уравнение:

$$xy-2x=-2\Rightarrow y-9-2x=-2$$

Решаем относительно $y$:

$$y-2x=-2+9=7\Rightarrow y=2x+7$$

Шаг 3: Подставим выражение для $y$ в $xy=y-9$

Левая часть: $x\cdot y=x(2x+7)=2x^2+7x$
Правая часть: $y-9=(2x+7)-9=2x-2$

Теперь:

$$2x^2+7x=2x-2\Rightarrow 2x^2+7x-2x+2=0\Rightarrow 2x^2+5x+2=0$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9\Rightarrow \sqrt{D}=3$$$$x_1=\frac{-5-3}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2,x_2=\frac{-5+3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Найдём $y$ из $y=2x+7$

• При $x=-2$:
  $y=2\cdot (-2)+7=-4+7=3$
• При $x=-\frac{1}{2}$:
  $y=2\cdot (-\frac{1}{2})+7=-1+7=6$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (-2;3);(-\mathrm{0,5};6)}}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}x-2xy=-10\\ y+xy=2\end{array}$$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение

$$y+xy=2\Rightarrow xy=2-y$$

Шаг 2: Подставим во второе уравнение в первое

Подставим $xy=2-y$ в первое уравнение:

$$x-2(2-y)=-10\Rightarrow x-4+2y=-10\Rightarrow x=-10+4-2y=-2y-6$$

Шаг 3: Подставим выражение для $x$ в $xy=2-y$

$$(-2y-6)y=2-y\Rightarrow -2y^2-6y=2-y\Rightarrow -2y^2-6y+y-2=0\Rightarrow$$

$$-2y^2-5y-2=0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2y^2+5y+2=0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9\Rightarrow \sqrt{D}=3$$$$y_1=\frac{-5-3}{4}=\frac{-8}{4}=-2,y_2=\frac{-5+3}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Найдём $x$ из $x=-2y-6$

• При $y=-2$:
  $x=-2\cdot (-2)-6=4-6=-2$
• При $y=-\frac{1}{2}$:
  $x=-2\cdot (-\frac{1}{2})-6=1-6=-5$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (-2;-2);(-5;-\mathrm{0,5})}}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}x+y+xy=7\\ x-y-2xy=-4\end{array}$$

Шаг 1: Выразим $xy$ из первого уравнения

$$xy=7-x-y$$

Шаг 2: Подставим в уравнение (2)

$$x-y-2(7-x-y)=-4\Rightarrow x-y-14+2x+2y=-4\Rightarrow 3x+y-14=-4\Rightarrow$$

$$3x+y=10\Rightarrow y=10-3x$$

Шаг 3: Подставим в первое уравнение

$$x+y+x\cdot y=7\Rightarrow x+(10-3x)+x(10-3x)=7\Rightarrow x+10-3x+10x-3x^2=7\Rightarrow$$

$$-2x+10+10x-3x^2=7\Rightarrow -3x^2+8x+10=7\Rightarrow -3x^2+8x+3=0\Rightarrow$$

$$3x^2-8x-3=0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100,\sqrt{D}=10$$$$x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3},x_2=\frac{8+10}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Шаг 5: Найдём $y$ из $y=10-3x$

• При $x=-\frac{1}{3}$:
  $y=10-3\cdot (-\frac{1}{3})=10+1=11$
• При $x=3$:
  $y=10-3\cdot 3=10-9=1$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (-\frac{1}{3};11);(3;1)}}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}3x+y+2xy=-6\\ x+y+xy=-6\end{array}$$

Шаг 1: Выразим $xy$ из второго уравнения

$$x+y+xy=-6\Rightarrow xy=-6-x-y$$

Шаг 2: Подставим в первое уравнение

$$3x+y+2(-6-x-y)=-6\Rightarrow 3x+y-12-2x-2y=-6\Rightarrow$$

$$x-y-12=-6\Rightarrow x=y+6$$

Шаг 3: Подставим в уравнение $x+y+xy=-6$

$$x=y+6\Rightarrow (y+6)+y+y(y+6)=-6\Rightarrow y+6+y+y^2+6y=-6\Rightarrow$$

$$y^2+8y+6=-6\Rightarrow y^2+8y+12=0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16,\sqrt{D}=4$$$$y_1=\frac{-8-4}{2}=-6,y_2=\frac{-8+4}{2}=-2$$

Шаг 5: Найдём $x$ из $x=y+6$

• При $y=-6$:
  $x=-6+6=0$
• При $y=-2$:
  $x=-2+6=4$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (0;-6);(4;-2)}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle (-2;3);(-\mathrm{0,5};6)}}$
б) $\boxed{{\displaystyle (-2;-2);(-5;-\mathrm{0,5})}}$
в) $\boxed{{\displaystyle (-\frac{1}{3};11);(3;1)}}$
г) $\boxed{{\displaystyle (0;-6);(4;-2)}}$