ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 482 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а) {2x^2+y^2=9, x^2-y^2=3};

б) {3x^2-2y^2=1, 2x^2-y^2=1};

в) {x^2-3y^2-y=-6, 2x^2-3y^2=-4};

г) {2x^2+xy=16, 3x^2+xy-x=18}.

а)
\[
\begin{cases}
2x^2 + y^2 = 9, \\
x^2 — y^2 = 3.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
y^2 = x^2 — 3; \quad y = \pm \sqrt{x^2 — 3};
\]

Первое уравнение:
\[
2x^2 + x^2 — 3 = 9;
\]

\[
3x^2 = 12; \quad x^2 = 4;
\]

\[
x = \pm \sqrt{4} = \pm 2;
\]

\[
y = \pm \sqrt{4 — 3} = \pm \sqrt{1} = \pm 1;
\]

Ответ: (-2; -1); (-2; 1); (2; -1); (2; 1).

б)
\[
\begin{cases}
3x^2 — 2y^2 = 1, \\
2x^2 — y^2 = 1.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
y^2 = 2x^2 — 1; \quad y = \pm \sqrt{2x^2 — 1};
\]

Первое уравнение:
\[
3x^2 — 2(2x^2 — 1) = 1;
\]

\[
3x^2 — 4x^2 + 2 = 1;
\]

\[
x^2 = 1; \quad x = \pm 1;
\]

\[
y = \pm \sqrt{2 — 1} = \pm \sqrt{1} = \pm 1;
\]

Ответ: (-1; -1); (-1; 1); (1; -1); (1; 1).

в)
\[
\begin{cases}
x^2 — 3y^2 — y = -6, \\
2x^2 — 3y^2 = -4.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
2x^2 = 3y^2 — 4; \quad x^2 = \frac{3y^2 — 4}{2};
\]

\[
x = \pm \sqrt{\frac{3y^2 — 4}{2}};
\]

Первое уравнение:
\[
\frac{3y^2 — 4}{2} — 3y^2 — y = -6;
\]

\[
3y^2 — 4 — 6y^2 — 2y = -12;
\]

\[
3y^2 + 2y — 8 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 4 + 96 = 100, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = -2, \quad y_2 = \frac{4}{3};
\]

\[
x_1 = \pm \sqrt{\frac{12 — 4}{2}} = \pm 2, \quad x_2 = \pm \sqrt{\frac{16 — 12}{6}} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}};
\]

Ответ: (-2; -2); (2; -2); \(\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{4}{3}\right)\); \(\left(\sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{4}{3}\right)\).

г)
\[
\begin{cases}
2x^2 + xy = 16, \\
3x^2 + xy — x = 18.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
xy = 16 — 2x^2; \quad y = \frac{16 — 2x^2}{x};
\]

Второе уравнение:
\[
3x^2 + 16 — 2x^2 — x = 18;
\]

\[
x^2 — x — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = -1, \quad x_2 = 2;
\]

\[
y_1 = \frac{16 — 2 \cdot (-1)^2}{-1} = -14, \quad y_2 = \frac{16 — 2 \cdot 2^2}{2} = 4;
\]

Ответ: (-1; -14); (2; 4).

Решение системы уравнений:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
2x^2 + y^2 = 9 \\
x^2 — y^2 = 3
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( y^2 = x^2 — 3 \), \quad \( y = \pm \sqrt{x^2 — 3} \)

2) Подставим \( y = \pm \sqrt{x^2 — 3} \) в первое уравнение:

\( 2x^2 + (x^2 — 3) = 9 \)

3) Упростим:

\( 2x^2 + x^2 — 3 = 9 \)

\( 3x^2 = 12 \)

\( x^2 = 4 \), \quad \( x = \pm 2 \)

4) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 2 \), \( y_1 = \pm \sqrt{4 — 3} = \pm 1 \).

Для \( x_2 = -2 \), \( y_2 = \pm \sqrt{4 — 3} = \pm 1 \).

Ответ: \( (-2; -1), (-2; 1), (2; -1), (2; 1) \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
3x^2 — 2y^2 = 1 \\
2x^2 — y^2 = 1
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( y^2 = 2x^2 — 1 \), \quad \( y = \pm \sqrt{2x^2 — 1} \)

2) Подставим \( y = \pm \sqrt{2x^2 — 1} \) в первое уравнение:

\( 3x^2 — 2(2x^2 — 1) = 1 \)

3) Упростим:

\( 3x^2 — 4x^2 + 2 = 1 \)

\( -x^2 + 2 = 1 \)

\( -x^2 = -1 \)

\( x^2 = 1 \), \quad \( x = \pm 1 \)

4) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -1 \), \( y_1 = \pm \sqrt{2(-1)^2 — 1} = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \).

Для \( x_2 = 1 \), \( y_2 = \pm \sqrt{2(1)^2 — 1} = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \).

Ответ: \( (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1) \).

в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 — 3y^2 — y = -6 \\
2x^2 — 3y^2 = -4
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( 2x^2 = 3y^2 — 4 \), \quad \( x^2 = \frac{3y^2 — 4}{2} \)

2) Подставим \( x^2 = \frac{3y^2 — 4}{2} \) в первое уравнение:

\( \frac{3y^2 — 4}{2} — 3y^2 — y = -6 \)

3) Умножим обе стороны на 2:

\( 3y^2 — 4 — 6y^2 — 2y = -12 \)

4) Упростим выражение:

\( -3y^2 — 2y — 4 = -12 \)

\( 3y^2 + 2y — 8 = 0 \)

5) Вычислим дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \)

6) Корни уравнения:

\( y_1 = -2, \quad y_2 = \frac{4}{3} \)

7) Найдем \( x \) для каждого значения \( y \):

Для \( y_1 = -2 \), \( x_1 = \pm \sqrt{\frac{12 — 4}{2}} = \pm 2 \).

Для \( y_2 = \frac{4}{3} \), \( x_2 = \pm \sqrt{\frac{16 — 12}{6}} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \).

Ответ: \( (-2; -2), (2; -2), \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{4}{3}\right), \left(\sqrt{\frac{2}{3}}; \frac{4}{3}\right) \).

г)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
2x^2 + xy = 16 \\
3x^2 + xy — x = 18
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения:

\( xy = 16 — 2x^2 \), \quad \( y = \frac{16 — 2x^2}{x} \)

2) Подставим \( y = \frac{16 — 2x^2}{x} \) во второе уравнение:

\( 3x^2 + 16 — 2x^2 — x = 18 \)

3) Упростим:

\( x^2 — x — 2 = 0 \)

4) Вычислим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

5) Корни уравнения:

\( x_1 = -1, \quad x_2 = 2 \)

6) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -1 \), тогда \( y_1 = \frac{16 — 2(-1)^2}{-1} = -14 \).

Для \( x_2 = 2 \), тогда \( y_2 = \frac{16 — 2(2)^2}{2} = 4 \).

Ответ: \( (-1; -14), (2; 4) \).