ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 481 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {1/x+1/y=3/8, x+y=12};

б) {x-y=4, 1/x-1/y=-4/5};

в) {2/(y-1)+3/(x+1)=5/2, 1/(x-2)=-3/y};

г) {1/(y+1)=2/(x-1), 4/(x+2)+1/(y-1)=1/3}.

a)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}, \\
x + y = 12.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
y = 12 — x;
\]

Первое уравнение:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{12 — x} = \frac{3}{8};
\]

\[
8(12 — x) + 8x = 3x(12 — x);
\]

\[
96 — 8x + 8x = 36x — 3x^2;
\]

\[
3x^2 — 36x + 96 = 0;
\]

\[
x^2 — 12x + 32 = 0;
\]

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 32 = 144 — 128 = 16, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 8;
\]

\[
y_1 = 12 — 4 = 8, \quad y_2 = 12 — 8 = 4;
\]

Ответ: (4; 8); (8; 4).

б)
\[
\begin{cases}
x — y = 4, \\
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -\frac{4}{5}.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
y = x — 4;
\]

Второе уравнение:
\[
\frac{1}{x} — \frac{1}{x — 4} = -\frac{4}{5};
\]

\[
5(x — 4) — 5x = -4x(x — 4);
\]

\[
5x — 20 — 5x = -4x^2 + 16x;
\]

\[
4x^2 — 16x — 20 = 0;
\]

\[
x^2 — 4x — 5 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = -1, \quad x_2 = 5;
\]

\[
y_1 = -1 — 4 = -5, \quad y_2 = 5 — 4 = 1;
\]

Ответ: (-1; -5); (5; 1).

в)
\[
\begin{cases}
\frac{2}{y — 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2}, \\
\frac{1}{x — 2} = -\frac{3}{y}.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
y = -3(x — 2); \quad y = 6 — 3x;
\]

Первое уравнение:
\[
\frac{2}{6 — 3x — 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2};
\]

\[
\frac{2}{5 — 3x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2};
\]

\[
4(x + 1) + 6(5 — 3x) = 5(5 — 3x)(x + 1);
\]

\[
4x + 4 + 30 — 18x = 25x + 25 — 15x^2 — 15x;
\]

\[
15x^2 — 24x + 9 = 0;
\]

\[
5x^2 — 8x + 3 = 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 — 60 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = 0.6, \quad x_2 = 1;
\]

\[
y_1 = 6 — 1.8 = 4.2, \quad y_2 = 6 — 3 = 3;
\]

Ответ: (0.6; 4.2); (1; 3).

г)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{y + 1} = \frac{2}{x — 1}, \\
\frac{4}{x + 2} + \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3}.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
x — 1 = 2(y + 1); \quad x — 1 = 2y + 2; \quad x = 2y + 3;
\]

Второе уравнение:
\[
\frac{4}{2y + 3 + 2} + \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3};
\]

\[
\frac{4}{2y + 5} + \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3};
\]

\[
12(y — 1) + 3(2y + 5) = (2y + 5)(y — 1);
\]

\[
12y — 12 + 6y + 15 = 2y^2 — 2y + 5y — 5;
\]

\[
2y^2 — 15y — 8 = 0;
\]

\[
D = 15^2 + 4 \cdot 2 \cdot 8 = 225 + 64 = 289, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = -0.5, \quad y_2 = 8;
\]

\[
x_1 = 2, \quad x_2 = 19;
\]

Ответ: (2; -0.5); (19; 8).

Решение задачи:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\
x + y = 12
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения: \( y = 12 — x \).

2) Подставим \( y = 12 — x \) в первое уравнение:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{12 — x} = \frac{3}{8} \)

3) Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дробей:

\( 8 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{12 — x}\right) = 3 \)

4) Умножаем на \( x(12 — x) \) обе части:

\( 8(12 — x) + 8x = 3x(12 — x) \)

5) Упростим выражение:

\( 96 — 8x + 8x = 36x — 3x^2 \)

6) Получаем:

\( 3x^2 — 36x + 96 = 0 \)

7) Разделим на 3:

\( x^2 — 12x + 32 = 0 \)

8) Вычислим дискриминант:

\( D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16 \)

9) Корни уравнения:

\( x_1 = 4, \quad x_2 = 8 \)

10) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 4 \), тогда \( y_1 = 12 — 4 = 8 \).

Для \( x_2 = 8 \), тогда \( y_2 = 12 — 8 = 4 \).

Ответ: \( (4; 8), (8; 4) \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x — y = 4 \\
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -\frac{4}{5}
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения: \( y = x — 4 \).

2) Подставим \( y = x — 4 \) во второе уравнение:

\( \frac{1}{x} — \frac{1}{x — 4} = -\frac{4}{5} \)

3) Умножим обе части на 5(x)(x — 4):

\( 5(x — 4) — 5x = -4x(x — 4) \)

4) Упростим выражение:

\( 5x — 20 — 5x = -4x^2 + 16x \)

5) Получаем:

\( 4x^2 — 16x — 20 = 0 \)

6) Разделим на 4:

\( x^2 — 4x — 5 = 0 \)

7) Вычислим дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)

8) Корни уравнения:

\( x_1 = -1, \quad x_2 = 5 \)

9) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -1 \), тогда \( y_1 = -1 — 4 = -5 \).

Для \( x_2 = 5 \), тогда \( y_2 = 5 — 4 = 1 \).

Ответ: \( (-1; -5), (5; 1) \).

в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
\frac{2}{y — 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2} \\
\frac{1}{x — 2} = -\frac{3}{y}
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения:

\( y = -3(x — 2), \quad y = 6 — 3x \)

2) Подставим \( y = 6 — 3x \) в первое уравнение:

\( \frac{2}{6 — 3x — 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2} \)

3) Упростим уравнение:

\( \frac{2}{5 — 3x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2} \)

4) Умножим обе стороны на 10:

\( 4(x + 1) + 6(5 — 3x) = 5(5 — 3x)(x + 1) \)

5) Раскроем скобки и упростим:

\( 4x + 4 + 30 — 18x = 25x + 25 — 15x^2 — 15x \)

6) Получаем:

\( 15x^2 — 24x + 9 = 0 \)

7) Разделим на 3:

\( 5x^2 — 8x + 3 = 0 \)

8) Вычислим дискриминант:

\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 — 60 = 4 \)

9) Корни уравнения:

\( x_1 = 0.6, \quad x_2 = 1 \)

10) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 0.6 \), тогда \( y_1 = 6 — 1.8 = 4.2 \).

Для \( x_2 = 1 \), тогда \( y_2 = 6 — 3 = 3 \).

Ответ: \( (0.6; 4.2), (1; 3) \).

г)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
\frac{1}{y + 1} = \frac{2}{x — 1} \\
\frac{4}{x + 2} + \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3}
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения:

\( x — 1 = 2(y + 1) \), затем \( x = 2y + 3 \)

2) Подставим \( x = 2y + 3 \) во второе уравнение:

\( \frac{4}{2y + 3 + 2} + \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3} \)

3) Упростим:

\( \frac{4}{2y + 5} + \frac{1}{y — 1} = \frac{1}{3} \)

4) Умножим обе стороны на 3:

\( 12(y — 1) + 3(2y + 5) = (2y + 5)(y — 1) \)

5) Раскроем скобки и упростим:

\( 12y — 12 + 6y + 15 = 2y^2 — 2y + 5y — 5 \)

6) Получаем:

\( 2y^2 — 15y — 8 = 0 \)

7) Вычислим дискриминант:

\( D = (-15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 \)

8) Корни уравнения:

\( y_1 = -0.5, \quad y_2 = 8 \)

9) Найдем \( x \) для каждого значения \( y \):

Для \( y_1 = -0.5 \), тогда \( x_1 = 2(-0.5) + 3 = 2 \).

Для \( y_2 = 8 \), тогда \( x_2 = 2(8) + 3 = 19 \).

Ответ: \( (2; -0.5), (19; 8) \).