ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 479 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {2x^2-3y^2=y-6, 3x-2y=2};

б) {5y+2x=4, 3y^2-4x^2-6x=-6};

в) {x^2-y^2=x+y, 2x+3y=1}.

Решить систему уравнений:
a)
\[
\begin{cases}
2x^2 — 3y^2 = y — 6, \\
3x — 2y = 2.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[2y = 3x — 2;\]

\[y = \frac{3}{2}x — 1;\]

Первое уравнение:
\[
2x^2 — 3\left(\frac{3}{2}x — 1\right)^2 = \frac{3}{2}x — 1 — 6;
\]

\[
2x^2 — \frac{27}{4}x^2 + 9x — 3 = \frac{3}{2}x — 7;
\]

\[
\frac{19}{4}x^2 — \frac{15}{2}x — 4 = 0;
\]

\[
19x^2 — 30x — 16 = 0;
\]

\[
D = 30^2 + 4 \cdot 19 \cdot 16 = 900 + 1216 = 2116, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{30 — 46}{2 \cdot 19} = \frac{-8}{19}, \quad x_2 = \frac{30 + 46}{2 \cdot 19} = 2;
\]

\[
y_1 = \frac{-12}{19} — 1 = -\frac{31}{19}, \quad y_2 = 3 — 1 = 2;
\]

Ответ: (2; 2); \(\left(-\frac{8}{19}; -\frac{12}{19}\right)\).

б)

\[
\begin{cases}
5y + 2x = 4, \\
3y^2 — 4x^2 — 6x = -6.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[5y = 4 — 2x;\]

\[y = \frac{4 — 2x}{5};\]

Второе уравнение:

\[
3 \cdot \left(\frac{4 — 2x}{5}\right)^2 — 4x^2 — 6x = -6;
\]

\[
\frac{48 — 48x + 12x^2}{25} — 4x^2 — 6x + 6 = 0;
\]

\[
48 — 48x + 12x^2 — 100x^2 — 150x + 150 = 0;
\]

\[
88x^2 + 198x — 198 = 0;
\]

\[
4x^2 + 9x — 9 = 0;
\]

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 81 + 144 = 225, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 4} = -3, \quad x_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4};
\]

\[
y_1 = 3, \quad y_2 = \frac{1}{2};
\]

Ответ: (-3; 2); \(\left(\frac{3}{4}; \frac{1}{2}\right)\).

в)

\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = x + y, \\
2x + 3y = 1.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
(x — y)(x + y) = x + y;
\]

\[
x — y = 1, \quad y = x — 1;
\]

Первое значение:
\[
2x + 3(x — 1) = 1;
\]

\[
2x + 3x — 3 = 1;
\]

\[
5x = 4, \quad x = \frac{4}{5};
\]

\[
y = \frac{4}{5} — 1 = -\frac{1}{5};
\]

Второе значение:
\[
x — y = 1, \quad -x = 1, \quad x = -1, \quad y = 1;
\]

Ответ: (-1; 1); \(\left(\frac{4}{5}; -\frac{1}{5}\right)\).

Решение системы уравнений:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
2x^2 — 3y^2 = y — 6 \\
3x — 2y = 2
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения: \( 2y = 3x — 2 \), тогда \( y = \frac{3}{2}x — 1 \).

2) Подставим \( y = \frac{3}{2}x — 1 \) в первое уравнение:

\( 2x^2 — 3\left(\frac{3}{2}x — 1\right)^2 = \frac{3}{2}x — 1 — 6 \)

3) Упростим уравнение:

\( 2x^2 — \frac{27}{4}x^2 + 9x — 3 = \frac{3}{2}x — 7 \)

\( \frac{19}{4}x^2 — \frac{15}{2}x — 4 = 0 \)

4) Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\( 19x^2 — 30x — 16 = 0 \)

5) Вычислим дискриминант:

\( D = (-30)^2 — 4 \cdot 19 \cdot (-16) = 900 + 1216 = 2116 \)

6) Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-30 — 46}{2 \cdot 19} = \frac{-8}{19}, \quad x_2 = \frac{-30 + 46}{2 \cdot 19} = 2 \)

7) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -\frac{8}{19} \), тогда \( y_1 = \frac{-12}{19} — 1 = -\frac{31}{19} \).

Для \( x_2 = 2 \), тогда \( y_2 = 3 — 1 = 2 \).

Ответ: \( \left(-\frac{8}{19}; -\frac{12}{19}\right), \quad (2; 2) \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
5y + 2x = 4 \\
3y^2 — 4x^2 — 6x = -6
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения выразим \( y \):

\( 5y = 4 — 2x, \quad y = \frac{4 — 2x}{5} \)

2) Подставим \( y = \frac{4 — 2x}{5} \) во второе уравнение:

\( 3\left(\frac{4 — 2x}{5}\right)^2 — 4x^2 — 6x = -6 \)

3) Упростим уравнение:

\( \frac{48 — 48x + 12x^2}{25} — 4x^2 — 6x + 6 = 0 \)

\( 48 — 48x + 12x^2 — 100x^2 — 150x + 150 = 0 \)

\( 88x^2 + 198x — 198 = 0 \)

4) Разделим на 2:

\( 4x^2 + 9x — 9 = 0 \)

5) Вычислим дискриминант:

\( D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 \)

6) Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 4} = -3, \quad x_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \)

7) Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -3 \), тогда \( y_1 = 3 \).

Для \( x_2 = \frac{3}{4} \), тогда \( y_2 = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( (-3; 3), \quad \left(\frac{3}{4}; \frac{1}{2}\right) \).

в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 — y^2 = x + y \\
2x + 3y = 1
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения:

\( (x — y)(x + y) = x + y \)

2) Если \( x + y \neq 0 \), делим обе части на \( x + y \):

\( x — y = 1, \quad y = x — 1 \)

3) Подставим \( y = x — 1 \) во второе уравнение:

\( 2x + 3(x — 1) = 1 \)

4) Упростим:

\( 2x + 3x — 3 = 1 \)

\( 5x = 4, \quad x = \frac{4}{5} \)

5) Найдем \( y \) для \( x = \frac{4}{5} \):

\( y = \frac{4}{5} — 1 = -\frac{1}{5} \)

6) Для \( x + y = 0 \) получаем \( -x = 1 \), \( x = -1 \), и \( y = 1 \).

Ответ: \( (-1; 1), \quad \left(\frac{4}{5}; -\frac{1}{5}\right) \).