ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 476 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-6y=0\\ y+2x=0\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-xy+y^2=63\\ x-y=-3\end{array}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}x-y=7\\ x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-6y=0\\ y+2x=0\end{array}$$

$$\begin{cases} x^2 + y^2 — 6y = 0 \\ y + 2x = 0 \end{cases}$$ $$y=-2x$$

$$y = -2x$$ $$x^2+4x^2+12x=0$$

$$x^2 + 4x^2 + 12x = 0$$ $$5x^2+12x=0$$

$$5x^2 + 12x = 0$$ $$x(5x+12)=0$$

$$x(5x + 12) = 0$$ $$x_1=-\mathrm{2,4},x_2=0$$

$$x_1 = -2{,}4,\quad x_2 = 0$$ $$y_1=\mathrm{4,8},y_2=0$$

$$y_1 = 4{,}8,\quad y_2 = 0$$ $$\text{Ответ: } (-2{,}4;\ 4{,}8);\ (0;\ 0)$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-xy+y^2=63\\ x-y=-3\end{array}$$

$$\begin{cases} x^2 — xy + y^2 = 63 \\ x — y = -3 \end{cases}$$ $$y=x+3$$

$$y = x + 3$$ $$x^2-x(x+3)+(x+3{)}^2=63$$

$$x^2 — x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63$$ $$x^2-x^2-3x+x^2+6x+9=63$$

$$x^2 — x^2 — 3x + x^2 + 6x + 9 = 63$$ $$x^2+3x-54=0$$

$$x^2 + 3x — 54 = 0$$ $$D=3^2+4\cdot 54=9+216=225$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 54 = 9 + 216 = 225$$ $$x_1=\frac{-3-15}{2}=-9,x_2=\frac{-3+15}{2}=6$$

$$x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9,\quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$$ $$y_1=-9+3=-6,y_2=6+3=9$$

$$y_1 = -9 + 3 = -6,\quad y_2 = 6 + 3 = 9$$ $$\text{Ответ: } (-9;\ -6);\ (6;\ 9)$$

в)

$$\begin{cases} x — y = 7 \\ x^2 — xy — y^2 = 19 \end{cases}$$

$$y=x-7$$

$$y = x — 7$$ $$x^2-x(x-7)-(x-7{)}^2=19$$

$$x^2 — x(x — 7) — (x — 7)^2 = 19$$ $$x^2-x^2+7x-x^2+14x-49=19$$

$$x^2 — x^2 + 7x — x^2 + 14x — 49 = 19$$ $$x^2-21x+68=0$$

$$x^2 — 21x + 68 = 0$$ $$D={21}^2-4\cdot 68=441-272=169$$

$$D = 21^2 — 4 \cdot 68 = 441 — 272 = 169$$ $$x_1=\frac{21-13}{2}=4,x_2=\frac{21+13}{2}=17$$

$$x_1 = \frac{21 — 13}{2} = 4,\quad x_2 = \frac{21 + 13}{2} = 17$$ $$y_1=4-7=-3,y_2=17-7=10$$

$$y_1 = 4 — 7 = -3,\quad y_2 = 17 — 7 = 10$$ $$\text{Ответ: } (4;\ -3);\ (17;\ 10)$$

а)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 — 6y = 0 \quad \text{(1)} \\ y + 2x = 0 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1: выразим одну переменную из уравнения (2):

$$y + 2x = 0 \Rightarrow y = -2x$$

Шаг 2: подставим выражение $y = -2x$ в уравнение (1):

$$x^2 + y^2 — 6y = 0$$ $$x^2 + (-2x)^2 — 6(-2x) = 0$$ $$x^2 + 4x^2 + 12x = 0$$ $$5x^2 + 12x = 0$$

Шаг 3: решим полученное квадратное уравнение:

$$5x^2 + 12x = 0 \Rightarrow x(5x + 12) = 0$$

Решения:

$$x_1 = 0,\quad x_2 = -\frac{12}{5} = -2{,}4$$

Шаг 4: найдём соответствующие значения $y$:

• При $x = 0$:

  $$y = -2 \cdot 0 = 0$$

• При $x = -2{,}4$:

  $$y = -2 \cdot (-2{,}4) = 4{,}8$$

Ответ:

$$\boxed{(-2{,}4;\ 4{,}8);\ (0;\ 0)}$$

б)

$$\begin{cases} x^2 — xy + y^2 = 63 \quad \text{(1)} \\ x — y = -3 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1: выразим одну переменную из уравнения (2):

$$x — y = -3 \Rightarrow y = x + 3$$

Шаг 2: подставим выражение $y = x + 3$ в уравнение (1):

$$x^2 — x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — x^2 — 3x + x^2 + 6x + 9 = 63$$

Упростим:

$$x^2 + 3x + 9 = 63 \Rightarrow x^2 + 3x — 54 = 0$$

Шаг 3: найдём дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

Шаг 4: найдём корни:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2}$$ $$x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9,\quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$$

Шаг 5: найдём соответствующие значения $y$:

• При $x = -9$:

  $$y = -9 + 3 = -6$$

• При $x = 6$:

  $$y = 6 + 3 = 9$$

Ответ:

$$\boxed{(-9;\ -6);\ (6;\ 9)}$$

в)

$$\begin{cases} x — y = 7 \quad \text{(1)} \\ x^2 — xy — y^2 = 19 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1: выразим одну переменную из уравнения (1):

$$x — y = 7 \Rightarrow y = x — 7$$

Шаг 2: подставим выражение $y = x — 7$ в уравнение (2):

$$x^2 — x(x — 7) — (x — 7)^2 = 19$$

Выполним раскрытие скобок:

$$x^2 — (x^2 — 7x) — (x^2 — 14x + 49) = 19$$

Удалим внешние скобки:

$$x^2 — x^2 + 7x — x^2 + 14x — 49 = 19$$

Упростим:

$$— x^2 + 21x — 49 = 19$$

Перенесём всё в левую часть:

$$— x^2 + 21x — 49 — 19 = 0 \Rightarrow — x^2 + 21x — 68 = 0$$

Умножим на -1 (для удобства):

$$x^2 — 21x + 68 = 0$$

Шаг 3: найдём дискриминант:

$$D = (-21)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 68 = 441 — 272 = 169$$

Шаг 4: найдём корни:

$$x = \frac{21 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{21 \pm 13}{2}$$ $$x_1 = \frac{21 — 13}{2} = \frac{8}{2} = 4,\quad x_2 = \frac{21 + 13}{2} = \frac{34}{2} = 17$$

Шаг 5: найдём соответствующие значения $y$:

• При $x = 4$:

  $$y = 4 — 7 = -3$$

• При $x = 17$:

  $$y = 17 — 7 = 10$$

Ответ:

$$\boxed{(4;\ -3);\ (17;\ 10)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{(-2{,}4;\ 4{,}8);\ (0;\ 0)}$
б) $\boxed{(-9;\ -6);\ (6;\ 9)}$
в) $\boxed{(4;\ -3);\ (17;\ 10)}$