ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 476 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {x^2+y^2-6y=0, y+2x=0};

б) {x^2-xy+y^2=63, x-y=-3};

в) {x-y=7, x^2-xy-y^2=19}.

Задача а:
Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 — 6y = 0, \\
y + 2x = 0.
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения: \(y = -2x\).
2. Подставляем \(y = -2x\) в первое уравнение:

\[
x^2 + (-2x)^2 — 6(-2x) = 0.
\]
Упростим:

\[
x^2 + 4x^2 + 12x = 0.
\]
Получаем:

\[
5x^2 + 12x = 0.
\]
3. Разложим на множители:

\[
x(5x + 12) = 0.
\]

Отсюда:

\[
x_1 = -2.4, \quad x_2 = 0.
\]

4. Найдём \(y\) для каждого \(x\):
Если \(x = -2.4\), тогда \(y = -2(-2.4) = 4.8\).
Если \(x = 0\), тогда \(y = -2(0) = 0\).

Ответ:

\[
(-2.4; 4.8), \quad (0; 0).
\]

Задача б:
Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 — xy + y^2 = 63, \\
x — y = -3.
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из второго уравнения: \(y = x + 3\).
2. Подставляем \(y = x + 3\) в первое уравнение:
\[
x^2 — x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63.
\]

Упростим:

\[
x^2 — x^2 — 3x + x^2 + 6x + 9 = 63.
\]

Получаем:

\[
x^2 + 3x — 54 = 0.
\]
3. Решим квадратное уравнение:

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225.
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6.
\]

4. Найдём \(y\) для каждого \(x\):
Если \(x = -9\), тогда \(y = -9 + 3 = -6\).
Если \(x = 6\), тогда \(y = 6 + 3 = 9\).

Ответ:

\[
(-9; -6), \quad (6; 9).
\]

Задача в:
Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x — y = 7, \\
x^2 — xy — y^2 = 19.
\end{cases}
\]

Решение:
1. Из первого уравнения: \(y = x — 7\).
2. Подставляем \(y = x — 7\) во второе уравнение:
\[
x^2 — x(x — 7) — (x — 7)^2 = 19.
\]

Упростим:

\[
x^2 — x^2 + 7x — x^2 + 14x — 49 = 19.
\]
Получаем:

\[
x^2 — 21x + 68 = 0.
\]

3. Решим квадратное уравнение:

\[
D = (-21)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 68 = 441 — 272 = 169.
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{21 — 13}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{21 + 13}{2} = 17.
\]

4. Найдём \(y\) для каждого \(x\):
Если \(x = 4\), тогда \(y = 4 — 7 = -3\).
Если \(x = 17\), тогда \(y = 17 — 7 = 10\).

Ответ:

\[
(4; -3), \quad (17; 10).
\]

Решение систем уравнений:

Задача а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 + y^2 — 6y = 0 \\
y + 2x = 0
\end{cases} \)

1. Из второго уравнения: \( y = -2x \).

2. Подставляем \( y = -2x \) в первое уравнение:

\( x^2 + (-2x)^2 — 6(-2x) = 0 \)

Упростим:

\( x^2 + 4x^2 + 12x = 0 \)

\( 5x^2 + 12x = 0 \)

3. Разложим на множители:

\( x(5x + 12) = 0 \)

4. Решение для \( x \):

\( x_1 = -2.4, \quad x_2 = 0 \)

5. Находим \( y \) для каждого \( x \):

Если \( x = -2.4 \), тогда \( y = -2(-2.4) = 4.8 \).

Если \( x = 0 \), тогда \( y = -2(0) = 0 \).

Ответ: \( (-2.4; 4.8), \quad (0; 0) \).

Задача б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 — xy + y^2 = 63 \\
x — y = -3
\end{cases} \)

1. Из второго уравнения: \( y = x + 3 \).

2. Подставляем \( y = x + 3 \) в первое уравнение:

\( x^2 — x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63 \)

Упростим:

\( x^2 — x^2 — 3x + x^2 + 6x + 9 = 63 \)

\( x^2 + 3x — 54 = 0 \)

3. Решаем квадратное уравнение:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6 \)

4. Находим \( y \) для каждого \( x \):

Если \( x = -9 \), тогда \( y = -9 + 3 = -6 \).

Если \( x = 6 \), тогда \( y = 6 + 3 = 9 \).

Ответ: \( (-9; -6), \quad (6; 9) \).

Задача в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x — y = 7 \\
x^2 — xy — y^2 = 19
\end{cases} \)

1. Из первого уравнения: \( y = x — 7 \).

2. Подставляем \( y = x — 7 \) во второе уравнение:

\( x^2 — x(x — 7) — (x — 7)^2 = 19 \)

Упростим:

\( x^2 — x^2 + 7x — x^2 + 14x — 49 = 19 \)

\( x^2 — 21x + 68 = 0 \)

3. Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-21)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 68 = 441 — 272 = 169 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{21 — 13}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{21 + 13}{2} = 17 \)

4. Находим \( y \) для каждого \( x \):

Если \( x = 4 \), тогда \( y = 4 — 7 = -3 \).

Если \( x = 17 \), тогда \( y = 17 — 7 = 10 \).

Ответ: \( (4; -3), \quad (17; 10) \).