ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 475 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {y=-2x-9, x+2y^2=-3};

б) {x+y=-1, xy+3x-1=0};

в) {4y^2-4x=3, x-3y=-2}.

a)
\[
\begin{cases}
y = -2x — 9, \\
x + 2y^2 = -3
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
x + 2(-2x + 9)^2 = -3;
\]

\[
x + 8x^2 + 72x + 162 = -3;
\]

\[
8x^2 + 73x + 165 = 0;
\]

\[
D = 73^2 — 4 \cdot 8 \cdot 165 = 5329 — 5280 = 49, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-73 — 7}{2 \cdot 8} = -5, \quad x_2 = \frac{-73 + 7}{2 \cdot 8} = -\frac{33}{8} = -4\frac{1}{8};
\]

\[
y_1 = 10 — 9 = 1, \quad y_2 = 8 \cdot \frac{1}{4} — 9 = -\frac{3}{4};
\]

Ответ:

\[
(-5; 1), \quad \left(-4\frac{1}{8}; -\frac{3}{4}\right).
\]

б)
\[
\begin{cases}
x + y = -1, \\
xy + 3x — 1 = 0
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
y = -x — 1;
\]

Второе уравнение:
\[
x(-x — 1) + 3x — 1 = 0;
\]

\[
-x^2 — x + 3x — 1 = 0;
\]

\[
x^2 — 2x + 1 = 0;
\]

\[
(x — 1)^2 = 0;
\]

\[
x — 1 = 0, \quad x = 1;
\]

\[
y = -1 — 1 = -2;
\]

Ответ:

\[
(1; -2).
\]

в)
\[
\begin{cases}
4y^2 — 4x = 3, \\
x — 3y = -2
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
x = 3y — 2;
\]

Первое уравнение:

\[
4y^2 — 4(3y — 2) = 3;
\]

\[
4y^2 — 12y + 8 = 3;
\]

\[
4y^2 — 12y + 5 = 0;
\]

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 — 80 = 64, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{12 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2};
\]

\[
x_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} — 2 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = 3 \cdot \frac{5}{2} — 2 = \frac{15}{2} — 2 = \frac{5}{2};
\]

Ответ:

\[
\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right), \quad \left( 5 \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right).
\]

Решение системы уравнений:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
y = -2x — 9 \\
x + 2y^2 = -3
\end{cases} \)

1) Подставим \( y = -2x — 9 \) во второе уравнение:

\( x + 2(-2x — 9)^2 = -3 \)

2) Раскроем скобки:

\( x + 2(4x^2 + 36x + 81) = -3 \)

3) Упростим выражение:

\( x + 8x^2 + 72x + 162 = -3 \)

4) Переносим все члены в одну сторону:

\( 8x^2 + 73x + 165 = 0 \)

5) Вычислим дискриминант:

\( D = 73^2 — 4 \cdot 8 \cdot 165 = 5329 — 5280 = 49 \)

6) Корни уравнения для \( x \):

\( x_1 = \frac{-73 — 7}{2 \cdot 8} = -5, \quad x_2 = \frac{-73 + 7}{2 \cdot 8} = -\frac{33}{8} = -4\frac{1}{8} \)

7) Теперь находим \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -5 \):

\( y_1 = -2(-5) — 9 = 10 — 9 = 1 \)

Для \( x_2 = -4\frac{1}{8} \):

\( y_2 = -2\left(-4\frac{1}{8}\right) — 9 = 8\frac{1}{4} — 9 = -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( (-5; 1) \), \( \left(-4\frac{1}{8}; -\frac{3}{4}\right) \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x + y = -1 \\
xy + 3x — 1 = 0
\end{cases} \)

1) Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = -x — 1 \)

2) Подставим \( y = -x — 1 \) во второе уравнение:

\( x(-x — 1) + 3x — 1 = 0 \)

3) Раскроем скобки:

\( -x^2 — x + 3x — 1 = 0 \)

4) Упростим выражение:

\( x^2 — 2x + 1 = 0 \)

5) Преобразуем в полный квадрат:

\( (x — 1)^2 = 0 \)

6) Получаем решение:

\( x — 1 = 0, \quad x = 1 \)

7) Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение:

\( y = -1 — 1 = -2 \)

Ответ: \( (1; -2) \).

в)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
4y^2 — 4x = 3 \\
x — 3y = -2
\end{cases} \)

1) Из второго уравнения выразим \( x \):

\( x = 3y — 2 \)

2) Подставим \( x = 3y — 2 \) в первое уравнение:

\( 4y^2 — 4(3y — 2) = 3 \)

3) Раскроем скобки:

\( 4y^2 — 12y + 8 = 3 \)

4) Переносим все члены в одну сторону:

\( 4y^2 — 12y + 5 = 0 \)

5) Вычислим дискриминант:

\( D = (-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 — 80 = 64 \)

6) Корни уравнения для \( y \):

\( y_1 = \frac{12 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \)

7) Теперь находим \( x \) для каждого значения \( y \):

Для \( y_1 = \frac{1}{2} \):

\( x_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} — 2 = -\frac{1}{2} \)

Для \( y_2 = \frac{5}{2} \):

\( x_2 = 3 \cdot \frac{5}{2} — 2 = \frac{15}{2} — 2 = \frac{5}{2} \)

Ответ: \( \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right) \), \( \left( 5 \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right) \).