ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 472 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение параметра a, при котором система уравнении x^2+y^2=9 и y-x=a имеет одно решение, имеет два решения, не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра a система уравнений имеет одно решение?

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9, \\
y — x = a
\end{cases}
\]

1) Второе уравнение:

\[
y — x = a, \quad y = a + x;
\]

2) Первое уравнение:
\[
x^2 + (a + x)^2 = 9;
\]

\[
x^2 + a^2 + 2ax + x^2 = 9;
\]

\[
2x^2 + 2ax + a^2 — 9 = 0;
\]

\[
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2(a^2 — 9);
\]

\[
D = 4a^2 — 8a^2 + 72;
\]

\[
D = 72 — 4a^2;
\]

3) Есть решения:
\[
72 — 4a^2 > 0;
\]

\[
a^2 — 18 < 0;
\]

\[
(a + 3\sqrt{2})(a — 3\sqrt{2}) < 0;
\]

\[
-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2};
\]

Ответ:
Одно решение при \(a = \pm 3\sqrt{2}\);
Два решения при \(-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}\);
Нет решений при \(a < -3\sqrt{2}\) и \(a > 3\sqrt{2}\).

Решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \\
y — x = a
\end{cases} \)

1) Второе уравнение:

\( y — x = a, \quad y = a + x \)

2) Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое уравнение:

\( x^2 + (a + x)^2 = 9 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + a^2 + 2ax + x^2 = 9 \)

Объединим подобные члены:

\( 2x^2 + 2ax + a^2 = 9 \)

Переносим 9 влево:

\( 2x^2 + 2ax + a^2 — 9 = 0 \)

3) Это квадратное уравнение относительно \( x \), и для нахождения количества решений, вычислим дискриминант:

\( D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 9) \)

\( D = 4a^2 — 8a^2 + 72 \)

\( D = 72 — 4a^2 \)

4) Для существования решений, дискриминант должен быть больше нуля:

\( 72 — 4a^2 > 0 \)

\( a^2 < 18 \)

Это неравенство выполняется, когда:

\( -3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2} \)

5) Таким образом, мы имеем следующие случаи:

— Если \( a = \pm 3\sqrt{2} \), то существует одно решение;

— Если \( -3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2} \), то существует два решения;

— Если \( a < -3\sqrt{2} \) или \( a > 3\sqrt{2} \), то решений нет.

Ответ:

• Одно решение при \( a = \pm 3\sqrt{2} \);
• Два решения при \( -3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2} \);
• Нет решений при \( a < -3\sqrt{2} \) и \( a > 3\sqrt{2} \).