ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 470 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что система уравнений не имеет решений:

а) {x^2+y^2=0,09, y=x^2+1}; б) {y=x^2+5, y+x^2=-2}.

Система не имеет решений:

a)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 0,09 \\
y = x^2 + 1
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 + (x^2 + 1)^2 = 0,09;
x^2 + x^4 + 2x^2 + 1 = 0,09;
x^4 + 3x^2 + 0,91 = 0;
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
\begin{cases}
y = x^2 + 5 \\
y + x^2 = -2
\end{cases}
\]

Второе уравнение:

\[
x^2 + 5 + x^2 = -2;
2x^2 = -7, \quad x^2 = -3,5;
\]

Что и требовалось доказать.

Решение:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x^2 + y^2 = 0,09 \\
y = x^2 + 1
\end{cases} \)

1. Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения \( y = x^2 + 1 \) в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 0,09 \):

\( x^2 + (x^2 + 1)^2 = 0,09 \)

2. Раскроем квадрат в выражении \( (x^2 + 1)^2 \):

\( x^2 + (x^4 + 2x^2 + 1) = 0,09 \)

3. Упростим выражение:

\( x^2 + x^4 + 2x^2 + 1 = 0,09 \)

4. Объединим подобные члены:

\( x^4 + 3x^2 + 1 = 0,09 \)

5. Переносим 0,09 влево:

\( x^4 + 3x^2 + 1 — 0,09 = 0 \)

\( x^4 + 3x^2 + 0,91 = 0 \)

6. Таким образом, получаем уравнение:

\( x^4 + 3x^2 + 0,91 = 0 \)

7. Это уравнение не имеет решений, так как сумма всех слагаемых будет всегда положительной, и не может равняться нулю. Также, выражение \( x^2 \) всегда будет положительным для всех действительных \( x \), а значит, не существует значения \( x \), при котором данное уравнение будет выполнено.

Что и требовалось доказать.

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
y = x^2 + 5 \\
y + x^2 = -2
\end{cases} \)

1. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения \( y = x^2 + 5 \) во второе уравнение \( y + x^2 = -2 \):

\( (x^2 + 5) + x^2 = -2 \)

2. Упростим выражение:

\( 2x^2 + 5 = -2 \)

3. Переносим 5 в правую часть уравнения:

\( 2x^2 = -7 \)

4. Разделим обе части на 2:

\( x^2 = -\frac{7}{2} \)

5. Видим, что \( x^2 \) равно отрицательному числу, что невозможно для действительных чисел, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

6. Таким образом, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Что и требовалось доказать.