ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 467 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Какие из пар вида (2; у) и (x; 1) являются решениями системы уравнений:

а) {2x^2+y^2=x+5y, x^2-2y^2=y-17}; б) {x-2y^2=2y, 3x-5y-7=0}?

Решение системы:
(2; y); (x; 1);

a)
\[
\begin{cases}
2x^2 + y^2 = x + 5y \\
x^2 — 2y^2 = y — 17
\end{cases}
\]

Если \(x = 2\), тогда:

\[
8 + y^2 = 2 + 5y;
y^2 — 5y + 6 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }\]
\[y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\]

\[
4 — 2y^2 = y — 17;
2y^2 — y — 21 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 21 = 1 + 168 = 169, \text{ тогда: }\]
\[y_1 = \frac{-1 — 13}{2 \cdot 2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 2} = 3;
\]

Если \(y = 1\), тогда:
\[
x^2 — 2 = 1 — 17;
x^2 = -14 < 0;
\]

Ответ: (2; y).

б)
\[
\begin{cases}
x — 2y^2 = 2y \\
3x — 5y — 7 = 0
\end{cases}
\]

Если \(x = 2\), тогда:

\[
6 — 5y — 7 = 0;
5y = -1, \quad y = -\frac{1}{5};
\]

\[
2 — \frac{2}{25} + 5 = \frac{58}{25};
\]

Если \(y = 1\), тогда:

\[
x — 2 \cdot 2 = 4;
12 — 5 — 7 = 0;
\]

Ответ: (x; 1).

Решение системы:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
2x^2 + y^2 = x + 5y \\
x^2 — 2y^2 = y — 17
\end{cases} \)

1. Если \( x = 2 \), тогда подставим \( x = 2 \) в первое уравнение:

\( 2 \cdot 2^2 + y^2 = 2 + 5y \)

\( 8 + y^2 = 2 + 5y \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( y^2 — 5y + 6 = 0 \)

Теперь вычислим дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Подставим \( x = 2 \) во второе уравнение:

\( 2^2 — 2 \cdot y^2 = y — 17 \)

\( 4 — 2y^2 = y — 17 \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( 2y^2 — y — 21 = 0 \)

Вычислим дискриминант для второго уравнения:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 13}{4} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 13}{4} = 3 \)

Таким образом, возможные значения для \( y \) при \( x = 2 \) это \( y = 2 \) и \( y = 3 \). Однако из второго уравнения, где \( y = 3 \), система также выполняется, поэтому точка \( (2; y) \) может быть решением.

2. Если \( y = 1 \), подставим \( y = 1 \) во второе уравнение:

\( x^2 — 2 \cdot 1^2 = 1 — 17 \)

\( x^2 — 2 = -16 \)

\( x^2 = -14 \), что является невозможным, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, при \( y = 1 \) решения нет.

Ответ: \( (2; y) \), где \( y = 2 \) или \( y = 3 \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x — 2y^2 = 2y \\
3x — 5y — 7 = 0
\end{cases} \)

1. Если \( x = 2 \), подставим \( x = 2 \) во второе уравнение:

\( 3 \cdot 2 — 5y — 7 = 0 \)

\( 6 — 5y — 7 = 0 \)

\( -5y = 1 \)

\( y = -\frac{1}{5} \)

Теперь подставим \( x = 2 \) и \( y = -\frac{1}{5} \) в первое уравнение:

\( 2 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \)

\( 2 — 2 \cdot \frac{1}{25} = -\frac{2}{5} \)

\( 2 — \frac{2}{25} = -\frac{2}{5} \)

\( \frac{50}{25} — \frac{2}{25} = -\frac{2}{5} \)

\( \frac{48}{25} = -\frac{2}{5} \), что неверно. Таким образом, \( y = -\frac{1}{5} \) не является решением.

2. Если \( y = 1 \), подставим \( y = 1 \) во второе уравнение:

\( 3x — 5 \cdot 1 — 7 = 0 \)

\( 3x — 5 — 7 = 0 \)

\( 3x — 12 = 0 \)

\( 3x = 12 \)

\( x = 4 \)

Теперь подставим \( x = 4 \) и \( y = 1 \) в первое уравнение:

\( 4 — 2 \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 \)

\( 4 — 2 = 2 \)

\( 2 = 2 \), что верно. Таким образом, точка \( (x; 1) = (4; 1) \) является решением системы.

Ответ: \( (x; 1) \), где \( x = 4 \).