ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 446 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметром a: (2a-3)/(x+a)-(2a-3)/(a-x)=2a/3.

Решить уравнение:
\[
\frac{2a + 3}{x + a} + \frac{2a — 3}{a — x} = \frac{2a}{3};
\]

\[
3(2a + 3)(x — a) + 3(2a — 3)(x + a) = 2a(x — a)(x + a);
\]

\[
9x — 9a + 6ax — 6a^2 + 6a^2 + 6ax — 9a — 9x = 2ax^2 — 2a^3;
\]

\[
12ax — 18a = 2ax^2 — 2a^3;
\]

\[
2ax^2 — 12ax + 18a — 2a^3 = 0;
\]

\[
x^2 — 6x + 9 — a^2 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4(9 — a^2) = 36 — 36 + 4a^2 = 4a^2,
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{6 — 2a}{2} = 3 — a, \quad x_2 = \frac{6 + 2a}{2} = 3 + a;
\]

Область определения:
\[
3 — a \neq a, \quad a \neq 1,5;
\]

\[
3 + a \neq -a, \quad a \neq -1,5;
\]

Ответ:
Если \(a \neq 0\) и \(a \neq \pm 1,5\), то \(3 + a; 3 — a;\)
Если \(a = 0\), то \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);\)
Если \(a = -1,5\), то корней нет;
Если \(a = 1,5\), то \(x = 4,5.\)

Уравнение: \( \frac{2a + 3}{x + a} + \frac{2a — 3}{a — x} = \frac{2a}{3} \)

Для начала приведем все выражения к общему знаменателю:

\[
\frac{2a + 3}{x + a} + \frac{2a — 3}{a — x} = \frac{2a}{3}
\]

Умножим обе стороны на 3 и на общий знаменатель \( (x + a)(a — x) \):

\[
3(2a + 3)(x — a) + 3(2a — 3)(x + a) = 2a(x — a)(x + a)
\]

Теперь раскроем скобки:

\[
3(2a + 3)(x — a) + 3(2a — 3)(x + a) = 2a(x — a)(x + a)
\]

\[
9x — 9a + 6ax — 6a^2 + 6a^2 + 6ax — 9a — 9x = 2ax^2 — 2a^3
\]

Упростим выражение:

\[
12ax — 18a = 2ax^2 — 2a^3
\]

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
2ax^2 — 12ax + 18a — 2a^3 = 0
\]

Преобразуем уравнение:

\[
x^2 — 6x + 9 — a^2 = 0
\]

Теперь найдем дискриминант для квадратного уравнения:

\[
D = 6^2 — 4(9 — a^2) = 36 — 36 + 4a^2 = 4a^2
\]

Теперь находим корни этого уравнения:

\[
x_1 = \frac{6 — 2a}{2} = 3 — a, \quad x_2 = \frac{6 + 2a}{2} = 3 + a
\]

Область определения:

Для того чтобы избежать деления на ноль, необходимо исключить значения \( a \), при которых знаменатель становится равным нулю:

\[
3 — a \neq a, \quad a \neq 1,5;
\]

\[
3 + a \neq -a, \quad a \neq -1,5;
\]

Ответ:

• Если \( a \neq 0 \) и \( a \neq \pm 1,5 \), то \( x = 3 + a \) или \( x = 3 — a \);
• Если \( a = 0 \), то \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \);
• Если \( a = -1,5 \), то корней нет;
• Если \( a = 1,5 \), то \( x = 4,5 \).