ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 445 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно x уравнение x^3=(a-1)x^2+a^2.

Решить уравнение:
\[
x^3 = (a — 1)x^2 + a^2;
\]

\[
x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = 0;
\]

\[
(x — a)(x^2 + x + a) = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot a = 1 — 4a,
\]
тогда:

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{1 — 4a}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 — 4a}}{2}.
\]

Ответ:
Если \(a < \frac{1}{4}\), то \(a; \frac{-1 \pm \sqrt{1 — 4a}}{2};\)
Если \(a = \frac{1}{4}\), то \(a; \frac{-1}{2};\)
Если \(a \geq \frac{1}{4}\), то \(a.\)

Уравнение: \( x^3 = (a — 1)x^2 + a^2 \)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = 0
\]

Теперь, видим, что можно выделить общий множитель:

\[
x^2(x — (a — 1)) = a^2
\]

Используя правило разложения на множители, мы получаем:

\[
x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = 0
\]

С помощью метода подбора, мы находим:

\[
(x — a)(x^2 + x + a) = 0;
\]

Теперь решим два уравнения: \(x — a = 0\) и \(x^2 + x + a = 0\).

Для первого уравнения \( x — a = 0 \), получаем:

\[
x = a
\]

Для второго уравнения \( x^2 + x + a = 0 \), находим дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot a = 1 — 4a;
\]

Тогда корни второго уравнения:

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{1 — 4a}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 — 4a}}{2}.
\]

Ответ:

• Если \( a < \frac{1}{4} \), то \( x = a \) или \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 — 4a}}{2} \);
• Если \( a = \frac{1}{4} \), то \( x = a \) или \( x = \frac{-1}{2} \);
• Если \( a \geq \frac{1}{4} \), то только \( x = a \).