ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 445 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно x уравнение

$$x^3=(a-1)x^2+a^2$$

Решить уравнение:

$$x^3=(a-1)x^2+a^2$$

$$x^3 = (a — 1)x^2 + a^2$$ $$x^3-(a-1)x^2-a^2=0$$

$$x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = 0$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 1 — a & 0 & -a^2 \\ \hline a & 1 & 1 & a & 0 \\ \hline \end{array}$$

$$(x-a)(x^2+x+a)=0$$

$$(x — a)(x^2 + x + a) = 0$$ $$D=1^2-4a=1-4a$$

$$D = 1^2 — 4a = 1 — 4a$$ $$x_1=\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2},x_2=\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}$$

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{1 — 4a}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 — 4a}}{2}$$ $$\text{Ответ:}\{\begin{array}{ll}x=a,{\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1-4a}}{2}},& \text{если }a<{\displaystyle \frac{1}{4}};\\ x={\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},& \text{если }a={\displaystyle \frac{1}{4}};\\ x=a,& \text{если }a\ge {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}\end{array}$$

Давайте разберём уравнение

$$x^3 = (a — 1)x^2 + a^2$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение к стандартному виду

Исходное уравнение:

$$x^3 = (a — 1)x^2 + a^2$$

Переносим всё в левую часть:

$$x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = 0$$

Шаг 2. Это кубическое уравнение

Имеем кубическое уравнение вида:

$$x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = 0$$

Обычно кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень. Попробуем найти его подбором.

Шаг 3. Пробуем корень $x = a$

Подставим $x = a$ в уравнение:

$$a^3 — (a — 1)a^2 — a^2 = 0$$

Раскроем скобки:

$$a^3 — a^3 + a^2 — a^2 = 0$$ $$0 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = a \text{ — корень уравнения}$$

Шаг 4. Делим многочлен на $x — a$

Раз $x = a$ — корень, значит, $x — a$ — делитель многочлена.

Разделим многочлен:

$$x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 \quad \text{на } (x — a)$$

Можно сделать деление уголком или использовать схему Горнера.

Используем схему Горнера:

Многочлен:

$$x^3 — (a — 1)x^2 + 0x — a^2$$

То есть коэффициенты:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 1 — a & 0 & -a^2 \\ \hline a & 1 & 1 & a & 0 \\ \hline \end{array}$$

Значит, после деления:

$$x^3 — (a — 1)x^2 — a^2 = (x — a)(x^2 + x + a)$$

Шаг 5. Находим корни квадратного уравнения

Рассматриваем:

$$x^2 + x + a = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot a = 1 — 4a$$

Шаг 6. Анализ дискриминанта

Если $D > 0$, т.е. $1 — 4a > 0 \Rightarrow a < \frac{1}{4}$

Есть два действительных корня:

$$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 — 4a}}{2}$$

Плюс корень $x = a$, получаем три действительных корня.

Если $D = 0$, т.е. $a = \frac{1}{4}$

Квадратное уравнение имеет один действительный корень (двукратный):

$$x = \frac{-1}{2}$$

И ещё корень $x = a = \frac{1}{4}$

Итого: два различных действительных корня.

Если $D < 0$, т.е. $a > \frac{1}{4}$

Корни квадратного уравнения — комплексные, нет других действительных корней, кроме:

$$x = a$$

Шаг 7. Финальный ответ

В зависимости от параметра $a$:

$$\boxed{ \begin{cases} x = a,\ \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 — 4a}}{2}, & \text{если } a < \dfrac{1}{4}; \\ x = \dfrac{1}{4},\ -\dfrac{1}{2}, & \text{если } a = \dfrac{1}{4}; \\ x = a, & \text{если } a > \dfrac{1}{4}. \end{cases} }$$

Пояснение: почему такой ответ

• Мы нашли один действительный корень $x = a$.
• Остальная часть уравнения — квадратный трехчлен.
• Корни этого квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта:
  • при $D > 0$ — два дополнительных действительных корня;
  • при $D = 0$ — один;
  • при $D < 0$ — нет действительных корней.