ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 441 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение xy^2-x=4y+4:

а) относительно x; б) относительно y.

Решить уравнение: \(xy^2 — x = 4y + 4\);

а) Относительно \(x\):

\[x(y^2 — 1) = 4y + 4;\]

\[x(y + 1)(y — 1) = 4(y + 1);\]

\[x = \frac{4(y + 1)}{(y + 1)(y — 1)} = \frac{4}{y — 1};\]

Ответ:
Если \(y = 1\), то корней нет;
Если \(y = -1\), то любое число;
Если \(y \neq \pm 1\), то \(x = \frac{4}{y — 1}\).

б) Относительно \(y\):

\[xy^2 — 4y — (x + 4) = 0;\]

\[D = 4^2 + 4x(x + 4) = 16 + 4x^2 + 16x;\]

\[D = 4(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)^2,\] тогда:

\[y_1 = \frac{4 — 2(x + 2)}{2x} = \frac{4 — 2x — 4}{2x} = -1;\]

\[y_2 = \frac{4 + 2(x + 2)}{2x} = \frac{4 + 2x + 4}{2x} = \frac{x + 4}{x};\]

Ответ:
Если \(x = -2\) и \(x = 0\), то \(y = -1\);
В других случаях \(y_1 = -1\) и \(y_2 = \frac{x + 4}{x}\).

Уравнение: \( xy^2 — x = 4y + 4 \)

a) Решение относительно \( x \):

Начнем с того, что уравнение выглядит как:

\[
xy^2 — x = 4y + 4
\]

Переносим все слагаемые с \( x \) на одну сторону:

\[
x(y^2 — 1) = 4y + 4
\]

Факторизуем выражение в левой части:

\[
x(y + 1)(y — 1) = 4(y + 1)
\]

Теперь, при условии, что \( y \neq -1 \), можно разделить обе части на \( (y + 1) \):

\[
x = \frac{4(y + 1)}{(y + 1)(y — 1)} = \frac{4}{y — 1}
\]

Ответ:

• Если \( y = 1 \), то корней нет, так как деление на ноль невозможно;
• Если \( y = -1 \), то любое значение \( x \) подходит, так как \( 0 = 0 \) для любого \( x \);
• Если \( y \neq \pm 1 \), то \( x = \frac{4}{y — 1} \).

б) Решение относительно \( y \):

Для начала перенесем все члены, не содержащие \( y \), на правую сторону:

\[
xy^2 — 4y — (x + 4) = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( y \):

\[
xy^2 — 4y — (x + 4) = 0
\]

Используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения \( Ay^2 + By + C = 0 \), где \( A = x \), \( B = -4 \), и \( C = -(x + 4) \):

\[
D = B^2 — 4AC = (-4)^2 — 4 \cdot x \cdot (-(x + 4))
\]

Вычисляем дискриминант:

\[
D = 16 + 4x(x + 4) = 16 + 4x^2 + 16x
\]

Преобразуем:

\[
D = 4(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)^2
\]

Теперь находим корни:

\[
y_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(-4) — \sqrt{4(x + 2)^2}}{2x} =\]

\[\frac{4 — 2(x + 2)}{2x} = \frac{4 — 2x — 4}{2x} = -1
\]

\[
y_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(-4) + \sqrt{4(x + 2)^2}}{2x} =\]

\[\frac{4 + 2(x + 2)}{2x} = \frac{4 + 2x + 4}{2x} = \frac{x + 4}{x}
\]

Ответ:

• Если \( x = -2 \) или \( x = 0 \), то \( y = -1 \);
• В других случаях \( y_1 = -1 \) и \( y_2 = \frac{x + 4}{x} \).