ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 439 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение |x^2+3x+4|=m, где m — параметр.

Решить уравнение:
\[
|x^2 + 3x + 4| = m;
\]

1) Первое уравнение:
\[
x^2 + 3x + 4 = -m;
\]

\[
x^2 + 3x + m + 4 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4(m + 4);
\]

\[
D = 9 — 4m — 16;
\]

\[
D = -7 — 4m < 0;
\]

2) Второе уравнение:

\[
x^2 + 3x + 4 = m;
\]

\[
x^2 + 3x + 4 — m = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4(4 — m);
\]

\[
D = 9 — 16 + 4m;
\]

\[
D = 4m — 7, \, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{4m — 7}}{2}.
\]

3) Область определения

\[
4m — 7 \geq 0, \quad m \geq 1{,}75;
\]

Ответ:
Если \(m < 1{,}75\), то корней нет;
Если \(m \geq 1{,}75\), то

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{4m — 7}}{2}.
\]

Решим уравнение:

\[
|x^2 + 3x + 4| = m;
\]

Для этого рассмотрим два случая: когда выражение внутри модуля \( x^2 + 3x + 4 \) положительное и когда оно отрицательное.

1) Первый случай: \( x^2 + 3x + 4 = -m \)

\[
x^2 + 3x + 4 = -m
\]

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
x^2 + 3x + m + 4 = 0;
\]

Теперь находим дискриминант этого квадратного уравнения:

\[
D = 3^2 — 4(m + 4);
\]

Вычисляем:

\[
D = 9 — 4m — 16;
\]

Упростим:

\[
D = -7 — 4m < 0;
\]

Это неравенство всегда верно для \( m > -1,75 \), но при \( m < 1,75 \) дискриминант не будет давать решений. Следовательно, корней в этом случае не будет.

2) Второй случай: \( x^2 + 3x + 4 = m \)

\[
x^2 + 3x + 4 = m
\]

Переносим \( m \) на правую сторону:

\[
x^2 + 3x + 4 — m = 0;
\]

Теперь находим дискриминант этого уравнения:

\[
D = 3^2 — 4(4 — m);
\]

Вычисляем:

\[
D = 9 — 16 + 4m;
\]

Упрощаем:

\[
D = 4m — 7, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{4m — 7}}{2}.
\]

Для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть больше или равен нулю, то есть:

\[
4m — 7 \geq 0, \quad m \geq 1{,}75;
\]

Область определения:

Если \( m < 1{,}75 \), то решений не существует. Если \( m \geq 1{,}75 \), то корни уравнения будут выражаться через:

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{4m — 7}}{2}.
\]

Ответ: Если \( m < 1{,}75 \), то корней нет; если \( m \geq 1{,}75 \), то:

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{4m — 7}}{2}.
\]