ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 438 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком условии уравнение ax^2+2ax=2bx+4b с параметрами a и b:

а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) не имеет корней?

Дано уравнение:
\[
ax^2 + 2ax = 2bx + 4b;
\]

\[
ax^2 + (2a — 2b)x — 4b = 0;
\]

\[
D = (2a — 2b)^2 + 4a \cdot 4b;
\]

\[
D = 4a^2 — 8ab + 4b^2 + 16ab;
\]

\[
D = 4a^2 + 8ab + 4b^2;
\]

\[
D = (2a + 2b)^2.
\]

а) Имеет один корень:
\[
(2a + 2b)^2 = 0, \quad a = -b;
\]

Ответ: \(a = 0; \, a = -b.\)

б) Имеет два корня:
\[
(2a + 2b)^2 > 0, \quad a \neq -b;
\]

Ответ: \(a \neq 0; \, a \neq -b.\)

в) Не имеет корней:
\[
(2a + 2b)^2 < 0
\]

Ответ: нет таких чисел.

Дано уравнение:

\[
ax^2 + 2ax = 2bx + 4b;
\]

Переносим все выражения на одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[
ax^2 + 2ax — 2bx — 4b = 0;
\]

Группируем подобные члены:

\[
ax^2 + (2a — 2b)x — 4b = 0;
\]

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение вида \( A x^2 + B x + C = 0 \), где:
— \( A = a \)
— \( B = 2a — 2b \)
— \( C = -4b \)

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

\[
D = B^2 — 4AC
\]

Подставим значения для \( A \), \( B \) и \( C \):

\[
D = (2a — 2b)^2 — 4 \cdot a \cdot (-4b)
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
D = (2a — 2b)^2 + 16ab
\]

\[
D = 4a^2 — 8ab + 4b^2 + 16ab
\]

Теперь группируем подобные слагаемые:

\[
D = 4a^2 + 8ab + 4b^2
\]

Мы видим, что это выражение можно представить в виде квадрата:

\[
D = (2a + 2b)^2
\]

а) Уравнение имеет один корень, если:

\[
(2a + 2b)^2 = 0
\]

Это означает, что выражение \( 2a + 2b \) должно быть равно нулю. То есть:

\[
2a + 2b = 0
\]

Разделим обе части на 2:

\[
a + b = 0 \quad \text{или} \quad a = -b.
\]

Ответ: \( a = -b \), а также учитываем, что \( D = 0 \) — это условие для существования одного корня. Поэтому находим, что \( a = 0 \) тоже является допустимым значением, так как \( a = -b \) подразумевает \( b = 0 \), если \( a = 0 \).

Итоговый ответ: \( a = 0 \) или \( a = -b \).

б) Уравнение имеет два корня, если:

\[
(2a + 2b)^2 > 0
\]

Это условие выполняется, если выражение \( 2a + 2b \) не равно нулю, то есть:

\[
2a + 2b \neq 0
\]

Разделим обе части на 2:

\[
a + b \neq 0
\]

Это дает:

\[
a \neq -b.
\]

Ответ: \( a \neq 0 \), \( a \neq -b \), так как в случае \( a = -b \) у нас будет один корень.

в) Уравнение не имеет корней, если:

\[
(2a + 2b)^2 < 0
\]

Однако выражение \( (2a + 2b)^2 \) всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, не существует таких значений \( a \) и \( b \), при которых квадрат выражения был бы меньше нуля.

Ответ: Нет таких чисел, для которых \( (2a + 2b)^2 < 0 \).