ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 434 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (x^2-7x+12)/(|x|-5) > 0; б) (x^2-7x-8)/|x-6| < 0;

в) (|x-5|+x)/(x+3) > 1; г) (|2-x|+5x)/(x+2) < 2.

Решить неравенство:

a) \[x^2 — 7x + 12 / |x — 5| > 0\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\]

\[
(x — 3)(x — 4) > 0, \quad (x + 5)(x — 5) > 0;
\]

\[
x < -5, \quad 3 < x < 4, \quad x > 5.
\]

Ответ: \((- \infty; -5) \cup (3; 4) \cup (5; +\infty)\).

b) \[x^2 — 7x — 8 / |x — 6| < 0\]

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8;
\]

\[
(x + 1)(x — 8) < 0, \quad x \neq 6;
\]

\[
-1 < x < 8, \quad x \neq 6.
\]

Ответ: \((-1; 6) \cup (6; 8)\).

в) \[\frac{|x — 5| + x}{x + 3} > 1\]

\[
\frac{|x — 5| + x — x — 3}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{|x — 5| — 3}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{((x — 5) + 3)((x — 5) — 3)}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{(x — 2)(x — 8)}{x + 3} > 0.
\]

Решение: \(-3 < x < 2, \quad x > 8.\)

Ответ: \((-3; 2) \cup (8; +\infty)\).

г) \[\frac{|2 — x| + 5x}{x + 2} < 2\]

\[
\frac{|2 — x| + 5x — 2x — 4}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{|x — 2| + 3x — 4}{x + 2} < 0.
\]

— Если \(x \geq 2\), тогда:

\[
\frac{x — 2 + 3x — 4}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{4x — 6}{x + 2} < 0;
\]

\[
-2 < x < 1.5.
\]

— Если \(x < 2\), тогда:

\[
\frac{2 — x + 3x — 4}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{2x — 2}{x + 2} < 0;
\]

\[
-2 < x < 1.
\]

Ответ: \((-2; 1)\).

a) Решим неравенство: \( \frac{x^2 — 7x + 12}{|x — 5|} > 0 \)

Для начала решим квадратное уравнение в числителе:

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1, \quad \text{тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;
\]

Значит, числитель факторизуется:

\[
(x — 3)(x — 4) > 0
\]

Теперь рассмотрим знаменатель \( |x — 5| \). Модуль \( |x — 5| \) всегда положителен, кроме случая, когда \( x = 5 \). Для решения неравенства получаем два случая:

1-й случай: \( x < -5 \), \( 3 < x < 4 \), \( x > 5 \)

Ответ: \( (- \infty; -5) \cup (3; 4) \cup (5; +\infty) \)

b) Решим неравенство: \( \frac{x^2 — 7x — 8}{|x — 6|} < 0 \)

Для начала решим квадратное уравнение в числителе:

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81, \quad \text{тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8;
\]

Значит, числитель факторизуется:

\[
(x + 1)(x — 8) < 0
\]

Теперь рассмотрим знаменатель \( |x — 6| \). Модуль \( |x — 6| \) всегда положителен, кроме случая, когда \( x = 6 \). Для решения неравенства получаем:

\[
-1 < x < 8, \quad x \neq 6
\]

Ответ: \( (-1; 6) \cup (6; 8) \)

в) Решим неравенство: \( \frac{|x — 5| + x}{x + 3} > 1 \)

Для начала преобразуем неравенство:

\[
\frac{|x — 5| + x — x — 3}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{|x — 5| — 3}{x + 3} > 0;
\]

Теперь раскрываем модуль:

\[
\frac{((x — 5) + 3)((x — 5) — 3)}{x + 3} > 0;
\]

\[
\frac{(x — 2)(x — 8)}{x + 3} > 0
\]

Решаем неравенство:

\[
-3 < x < 2, \quad x > 8
\]

Ответ: \( (-3; 2) \cup (8; +\infty) \)

г) Решим неравенство: \( \frac{|2 — x| + 5x}{x + 2} < 2 \)

Для начала преобразуем неравенство:

\[
\frac{|2 — x| + 5x — 2x — 4}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{|x — 2| + 3x — 4}{x + 2} < 0
\]

Теперь рассмотрим два случая:

Если \( x \geq 2 \), тогда:

\[
\frac{x — 2 + 3x — 4}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{4x — 6}{x + 2} < 0;
\]

\[
-2 < x < 1.5
\]

Если \( x < 2 \), тогда:

\[
\frac{2 — x + 3x — 4}{x + 2} < 0;
\]

\[
\frac{2x — 2}{x + 2} < 0;
\]

\[
-2 < x < 1
\]

Ответ: \( (-2; 1) \)