ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 430 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) x^4-6|x^2-1|-6=0, принадлежащие промежутку (—4; 4);

б) x^4-10|x^2-2|-11=0, принадлежащие промежутку (—6; 6).

Найти корни уравнения:

а) \( x^4 — 6|x^2 — 1| — 6 = 0 \);

Если \( |x| \geq 1 \), тогда:

\[
x^4 — 6(x^2 — 1) — 6 = 0;
\]

\[
x^4 — 6x^2 = 0;
\]

\[
x^2(x^2 — 6) = 0;
\]

\[
(x + \sqrt{6})(x — \sqrt{6}) = 0;
\]

\[
x_1 = -\sqrt{6}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{6};
\]

Если \( |x| < 1 \), тогда:

\[
x^4 + 6(x^2 — 1) — 6 = 0;
\]

\[
x^4 + 6x^2 — 12 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 12 = 36 + 48 = 84, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -3 \pm \sqrt{21};
\]

Ответ: \( -\sqrt{6}; \, \sqrt{6} \).

б) \( x^4 — 10|x^2 — 2| — 11 = 0 \);

Если \( |x| \geq \sqrt{2} \), тогда:

\[
x^4 — 10(x^2 — 2) — 11 = 0;
\]

\[
x^4 — 10x^2 + 9 = 0;
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;
\]

Если \( |x| < \sqrt{2} \), тогда:

\[
x^4 + 10(x^2 — 2) — 11 = 0;
\]

\[
x^4 + 10x^2 — 31 = 0;
\]

\[
D = 10^2 + 4 \cdot 31 = 100 + 124 = 224, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-10 + \sqrt{224}}{2} = \frac{-10 + 4\sqrt{14}}{2} = -5 + 2\sqrt{14};
\]

\[
x_2 = \frac{-10 — \sqrt{224}}{2} = \frac{-10 — 4\sqrt{14}}{2} = -5 — 2\sqrt{14};
\]

Ответ: \( -3; \, 3 \).

а) Найти корни уравнения:

$$x^4 — 6|x^2 — 1| — 6 = 0$$

Шаг 1: Анализ модуля

Уравнение содержит модуль: $|x^2 — 1|$.
Чтобы раскрыть его, рассмотрим два случая:

• Случай 1: $|x^2 — 1| = x^2 — 1$, когда $x^2 — 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow |x| \geq 1$
• Случай 2: $|x^2 — 1| = -(x^2 — 1) = -x^2 + 1$, когда $x^2 — 1 < 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow |x| < 1$

Случай 1: $|x| \geq 1$

Подставим:

$$x^4 — 6(x^2 — 1) — 6 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^4 — 6x^2 + 6 — 6 = 0 \Rightarrow x^4 — 6x^2 = 0$$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(x^2 — 6) = 0$$

Решаем:

• $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}$

Теперь проверим, какие из найденных значений удовлетворяют условию $|x| \geq 1$:

• $x = 0$: $|0| = 0 < 1$ — не подходит
• $x = \pm \sqrt{6} \approx \pm 2.45$ — подходит

Оставляем:

$$x = \pm \sqrt{6}$$

Случай 2: $|x| < 1$

Подставим:

$$x^4 — 6(-x^2 + 1) — 6 = 0 \Rightarrow x^4 + 6x^2 — 6 — 6 = 0 \Rightarrow x^4 + 6x^2 — 12 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Обозначим $y = x^2$, тогда:

$$y^2 + 6y — 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 6^2 + 4 \cdot 12 = 36 + 48 = 84$$ $$y = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -3 \pm \sqrt{21}$$

Теперь найдём $x$:

$$x^2 = -3 + \sqrt{21}$$

Оценим:

$$\sqrt{21} \approx 4.58 \Rightarrow x^2 \approx 1.58 \Rightarrow |x| \approx \sqrt{1.58} \approx 1.26$$

Это значит, что найденное значение не удовлетворяет условию $|x| < 1$ — так как получилось $|x| > 1$

Вывод: корней в этом случае нет

Ответ к пункту (а):

$$\boxed{-\sqrt{6};\ \sqrt{6}}$$

б) Найти корни уравнения:

$$x^4 — 10|x^2 — 2| — 11 = 0$$

Шаг 1: Анализ модуля

Рассматриваем модуль $|x^2 — 2|$. Разбираем два случая:

• Случай 1: $|x^2 — 2| = x^2 — 2$, если $x^2 \geq 2 \Rightarrow |x| \geq \sqrt{2}$
• Случай 2: $|x^2 — 2| = -(x^2 — 2) = -x^2 + 2$, если $x^2 < 2 \Rightarrow |x| < \sqrt{2}$

Случай 1: $|x| \geq \sqrt{2}$

Подставим:

$$x^4 — 10(x^2 — 2) — 11 = 0 \Rightarrow x^4 — 10x^2 + 20 — 11 = 0 \Rightarrow x^4 — 10x^2 + 9 = 0$$

Обозначим $y = x^2$, тогда:

$$y^2 — 10y + 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 100 — 36 = 64 \Rightarrow y = \frac{10 \pm 8}{2} = 1,\ 9$$

Рассмотрим каждое:

• $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
• $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$

Проверим условие $|x| \geq \sqrt{2} \approx 1.41$:

• $x = \pm 1 \Rightarrow |x| = 1 < \sqrt{2}$ — не подходит
• $x = \pm 3 \Rightarrow |x| = 3 > \sqrt{2}$ — подходит

Оставляем:

$$x = \pm 3$$

Случай 2: $|x| < \sqrt{2}$

Подставим:

$$x^4 — 10(-x^2 + 2) — 11 = 0 \Rightarrow x^4 + 10x^2 — 20 — 11 = 0 \Rightarrow x^4 + 10x^2 — 31 = 0$$

Обозначим $y = x^2$:

$$y^2 + 10y — 31 = 0$$

Решим:

$$D = 100 + 124 = 224 \Rightarrow y = \frac{-10 \pm \sqrt{224}}{2}$$

Упростим:

$$\sqrt{224} = \sqrt{16 \cdot 14} = 4\sqrt{14} \Rightarrow y = \frac{-10 \pm 4\sqrt{14}}{2} = -5 \pm 2\sqrt{14}$$

Рассматриваем $y = -5 + 2\sqrt{14}$

Оценим:

$$\sqrt{14}\approx 3.74\Rightarrow 2\sqrt{14}\approx 7.48\Rightarrow y\approx -5+7.48=2.48\Rightarrow$$

$$\sqrt{14} \approx 3.74 \Rightarrow 2\sqrt{14} \approx 7.48 \Rightarrow y \approx -5 + 7.48 = 2.48 \Rightarrow x^2 = 2.48 \Rightarrow |x| \approx \sqrt{2.48} \approx 1.57$$

Сравниваем с $\sqrt{2} \approx 1.41$

Получаем: $|x| > \sqrt{2}$, что противоречит условию $|x| < \sqrt{2}$

Вывод: в этом случае корней нет

Ответ к пункту (б):

$$\boxed{-3;\ 3}$$

Итоговый ответ:

а) $\boxed{-\sqrt{6};\ \sqrt{6}}$

б) $\boxed{-3;\ 3}$