ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 430 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) x^4-6|x^2-1|-6=0, принадлежащие промежутку (—4; 4);

б) x^4-10|x^2-2|-11=0, принадлежащие промежутку (—6; 6).

Найти корни уравнения:

а) \( x^4 — 6|x^2 — 1| — 6 = 0 \);

Если \( |x| \geq 1 \), тогда:

\[
x^4 — 6(x^2 — 1) — 6 = 0;
\]

\[
x^4 — 6x^2 = 0;
\]

\[
x^2(x^2 — 6) = 0;
\]

\[
(x + \sqrt{6})(x — \sqrt{6}) = 0;
\]

\[
x_1 = -\sqrt{6}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{6};
\]

Если \( |x| < 1 \), тогда:

\[
x^4 + 6(x^2 — 1) — 6 = 0;
\]

\[
x^4 + 6x^2 — 12 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 12 = 36 + 48 = 84, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -3 \pm \sqrt{21};
\]

Ответ: \( -\sqrt{6}; \, \sqrt{6} \).

б) \( x^4 — 10|x^2 — 2| — 11 = 0 \);

Если \( |x| \geq \sqrt{2} \), тогда:

\[
x^4 — 10(x^2 — 2) — 11 = 0;
\]

\[
x^4 — 10x^2 + 9 = 0;
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;
\]

Если \( |x| < \sqrt{2} \), тогда:

\[
x^4 + 10(x^2 — 2) — 11 = 0;
\]

\[
x^4 + 10x^2 — 31 = 0;
\]

\[
D = 10^2 + 4 \cdot 31 = 100 + 124 = 224, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-10 + \sqrt{224}}{2} = \frac{-10 + 4\sqrt{14}}{2} = -5 + 2\sqrt{14};
\]

\[
x_2 = \frac{-10 — \sqrt{224}}{2} = \frac{-10 — 4\sqrt{14}}{2} = -5 — 2\sqrt{14};
\]

Ответ: \( -3; \, 3 \).

Задача 1: Найдите корни уравнения:

\( x^4 — 6|x^2 — 1| — 6 = 0 \)

1-й случай: \( |x^2 — 1| = x^2 — 1 \), когда \( |x| \geq 1 \)

Если \( |x| \geq 1 \), то \( x^2 \geq 1 \), и модуль выражается как \( |x^2 — 1| = x^2 — 1 \). Подставим это в уравнение:

\[
x^4 — 6(x^2 — 1) — 6 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^4 — 6x^2 + 6 — 6 = 0
\]

\[
x^4 — 6x^2 = 0
\]

Теперь вынесем \( x^2 \) за скобки:

\[
x^2(x^2 — 6) = 0
\]

Это уравнение дает два возможных решения:

1. \( x^2 = 0 \), что означает \( x = 0 \);
2. \( x^2 — 6 = 0 \), что дает \( x^2 = 6 \), и, следовательно, \( x = \pm \sqrt{6} \).

Таким образом, в этом случае мы получаем три корня: \( x = 0, \, x = -\sqrt{6}, \, x = \sqrt{6} \).

2-й случай: \( |x^2 — 1| = 1 — x^2 \), когда \( |x| < 1 \)

Если \( |x| < 1 \), то \( x^2 < 1 \), и модуль выражается как \( |x^2 — 1| = 1 — x^2 \). Подставим это в уравнение:

\[
x^4 — 6(1 — x^2) — 6 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^4 — 6 + 6x^2 — 6 = 0
\]

\[
x^4 + 6x^2 — 12 = 0
\]

Преобразуем это уравнение в квадратное относительно \( x^2 \). Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение превращается в:

\[
y^2 + 6y — 12 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта:

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 12 = 36 + 48 = 84
\]

Корни уравнения:

\[
y = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -3 \pm \sqrt{21}
\]

Так как \( y = x^2 \), а \( x^2 \) не может быть отрицательным, то мы отбрасываем отрицательное значение \( y = -3 — \sqrt{21} \) и оставляем \( y = -3 + \sqrt{21} \).

Тогда:

\[
x^2 = -3 + \sqrt{21}
\]

Таким образом, корни этого уравнения:

\[
x_1 = \sqrt{-3 + \sqrt{21}}, \quad x_2 = -\sqrt{-3 + \sqrt{21}}
\]

Ответ: Когда \( |x| \geq 1 \), корни: \( x_1 = -\sqrt{6}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{6} \). Когда \( |x| < 1 \), корни: \( \sqrt{-3 + \sqrt{21}}, \, -\sqrt{-3 + \sqrt{21}} \).

Задача 2: Найдите корни уравнения:

\( x^4 — 10|x^2 — 2| — 11 = 0 \)

1-й случай: \( |x^2 — 2| = x^2 — 2 \), когда \( |x| \geq \sqrt{2} \)

Если \( |x| \geq \sqrt{2} \), то \( x^2 \geq 2 \), и модуль выражается как \( |x^2 — 2| = x^2 — 2 \). Подставим это в уравнение:

\[
x^4 — 10(x^2 — 2) — 11 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^4 — 10x^2 + 20 — 11 = 0
\]

\[
x^4 — 10x^2 + 9 = 0
\]

Преобразуем это уравнение в квадратное относительно \( x^2 \). Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение превращается в:

\[
y^2 — 10y + 9 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта:

\[
D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64
\]

Корни уравнения:

\[
y = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}
\]

Таким образом, получаем два значения для \( y \):

\[
y_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{10 — 8}{2} = 1
\]

Так как \( y = x^2 \), то:

1. \( x^2 = 9 \), то \( x = \pm 3 \);
2. \( x^2 = 1 \), то \( x = \pm 1 \).

Так как \( |x| \geq \sqrt{2} \), то корни: \( x = \pm 3 \).

2-й случай: \( |x^2 — 2| = 2 — x^2 \), когда \( |x| < \sqrt{2} \)

Если \( |x| < \sqrt{2} \), то \( x^2 < 2 \), и модуль выражается как \( |x^2 — 2| = 2 — x^2 \). Подставим это в уравнение:

\[
x^4 + 10(x^2 — 2) — 11 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^4 + 10x^2 — 20 — 11 = 0
\]

\[
x^4 + 10x^2 — 31 = 0
\]

Преобразуем это уравнение в квадратное относительно \( x^2 \). Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение превращается в:

\[
y^2 + 10y — 31 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта:

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-31) = 100 + 124 = 224
\]

Корни уравнения:

\[
y = \frac{-10 \pm \sqrt{224}}{2} = \frac{-10 \pm 4\sqrt{14}}{2} = -5 \pm 2\sqrt{14}
\]

Таким образом, корни для \( y \):

\[
x_1 = \sqrt{-5 + 2\sqrt{14}}, \quad x_2 = -\sqrt{-5 + 2\sqrt{14}}
\]

Ответ: Когда \( |x| \geq \sqrt{2} \), корни: \( x = 3, -3 \). Когда \( |x| < \sqrt{2} \), корни: \( \sqrt{-5 + 2\sqrt{14}}, -\sqrt{-5 + 2\sqrt{14}} \).