ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 429 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) y=x^2-5|x|+6 и y=|x-6|; б) y=|x^2+3x-10| и y=x^2-10.

Найти точки пересечения:

а) \( y = x^2 — 5|x| + 6, \quad y = |x — 6| \);

Если \( x \leq 0 \), тогда:

\[
x^2 + 5x + 6 = 6 — x;
\]

\[
x^2 + 6x = 0;
\]

\[
x(x + 6) = 0;
\]

\[
x_1 = -6, \quad x_2 = 0;
\]

\[
y_1 = 12, \quad y_2 = 6;
\]

Если \( 0 < x \leq 6 \), тогда:

\[
x^2 — 5x + 6 = 6 — x;
\]

\[
x^2 — 4x = 0;
\]

\[
x(x — 4) = 0;
\]

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 4;
\]

\[
y_1 = 6, \quad y_2 = 2;
\]

Если \( x > 6 \), тогда:

\[
x^2 — 5x + 6 = x — 6;
\]

\[
x^2 — 6x + 12 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 — 48 = -12;
\]

Ответ: \( (-6; 12); (0; 6); (4; 2) \).

б) \( y = |x^2 + 3x — 10|, \quad y = x^2 — 10 \);

Первое уравнение:

\[
x^2 + 3x — 10 = x^2 — 10;
\]

\[
3x = 0, \quad x = 0, \quad y = -10;
\]

Второе уравнение:

\[
x^2 + 3x — 10 = -x^2 + 10;
\]

\[
2x^2 + 3x = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 20 = 9 + 160 = 169, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-3 — 13}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 13}{4} = 2.5;
\]

\[
y_1 = 16 — 10 = 6, \quad y_2 = 6.25 — 10 = -3.75;
\]

Область определения:

\[
x^2 — 10 \geq 0;
\]

\[
(x + \sqrt{10})(x — \sqrt{10}) \geq 0;
\]

\[
x \leq -\sqrt{10}, \quad x \geq \sqrt{10};
\]

Ответ: \( (-\sqrt{10}; \sqrt{10}) \).

Решение уравнений

а) \( y = x^2 — 5|x| + 6, \quad y = |x — 6| \)

Рассмотрим три случая для \( |x| \) и \( |x — 6| \).

1. Если \( x \leq 0 \), то \( |x| = -x \) и \( |x — 6| = 6 — x \).

Уравнение примет вид:

\( x^2 + 5x + 6 = 6 — x \)

Упрощаем:

\( x^2 + 6x = 0 \)

Факторизуем:

\( x(x + 6) = 0 \)

Решение:

\( x_1 = -6, \quad x_2 = 0 \)

Подставляем \( x_1 = -6 \) в исходные уравнения для нахождения \( y \):

\( y_1 = (-6)^2 — 5(-6) + 6 = 36 + 30 + 6 = 12 \)

Подставляем \( x_2 = 0 \):

\( y_2 = 0^2 — 5(0) + 6 = 6 \)

2. Если \( 0 < x \leq 6 \), то \( |x| = x \) и \( |x — 6| = 6 — x \).

Уравнение примет вид:

\( x^2 — 5x + 6 = 6 — x \)

Упрощаем:

\( x^2 — 4x = 0 \)

Факторизуем:

\( x(x — 4) = 0 \)

Решение:

\( x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \)

Подставляем \( x_1 = 0 \):

\( y_1 = 0^2 — 5(0) + 6 = 6 \)

Подставляем \( x_2 = 4 \):

\( y_2 = 4^2 — 5(4) + 6 = 16 — 20 + 6 = 2 \)

3. Если \( x > 6 \), то \( |x| = x \) и \( |x — 6| = x — 6 \).

Уравнение примет вид:

\( x^2 — 5x + 6 = x — 6 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 6x + 12 = 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( D = (-6)^2 — 4(1)(12) = 36 — 48 = -12 \)

Так как дискриминант меньше нуля, решений в данном интервале нет.

Ответ для пункта (а):

Корни уравнения: \( (-6; 12), (0; 6), (4; 2) \).

б) \( y = |x^2 + 3x — 10|, \quad y = x^2 — 10 \)

1. Рассмотрим первое уравнение \( |x^2 + 3x — 10| = x^2 — 10 \):

\( x^2 + 3x — 10 = x^2 — 10 \)

Упрощаем:

\( 3x = 0, \quad x = 0, \quad y = -10 \)

2. Рассмотрим второе уравнение \( |x^2 + 3x — 10| = -(x^2 — 10) \):

\( x^2 + 3x — 10 = -x^2 + 10 \)

Упрощаем:

\( 2x^2 + 3x — 20 = 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169 \)

Решим уравнение:

\( x_1 = \frac{-3 — 13}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 13}{4} = 2.5 \)

Подставим \( x_1 = -4 \):

\( y_1 = (-4)^2 + 3(-4) — 10 = 16 — 12 — 10 = -6 \)

Подставим \( x_2 = 2.5 \):

\( y_2 = (2.5)^2 + 3(2.5) — 10 = 6.25 + 7.5 — 10 = 3.75 \)

3. Область определения:

\( x^2 — 10 \geq 0 \)

Решение:

\( (x + \sqrt{10})(x — \sqrt{10}) \geq 0 \)

Решение неравенства:

\( x \leq -\sqrt{10}, \quad x \geq \sqrt{10} \)

Ответ для пункта (б):

Корни уравнения: \( x = -4, x = 6 \).