ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 429 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y=x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6$, $y=\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }$;

б) $y=\mathrm{\mid }{x}^2+3x-10\mathrm{\mid }$, $y=x^2-10$

Найти точки пересечения:

а) $y=x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6$, $y=\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }$;

Если $x\le 0$, тогда:
$x^2+5x+6=6-x$;
$x^2+6x=0$;
$x(x+6)=0$;
$x_1=-6$, $x_2=0$;
$y_1=12$, $y_2=6$;

Если $0<x\le 6$, тогда:
$x^2-5x+6=6-x$;
$x^2-4x=0$;
$x(x-4)=0$;
$x_1=0$, $x_2=4$;
$y_1=6$, $y_2=2$;

Если $x>6$, тогда:
$x^2-5x+6=x-6$;
$x^2-6x+12=0$;
$D=6^2-4\cdot 12=-12$;
$D<0$, значит $x\in \mathrm{\varnothing }$;

Ответ: $(-6;12);(0;6);(4;2)$.

б) $y=\mathrm{\mid }{x}^2+3x-10\mathrm{\mid }$, $y=x^2-10$;

Первое уравнение:
$x^2+3x-10=x^2-10$;
$3x=0$, $x=0$, $y=-10$;

Второе уравнение:
$x^2+3x-10=10-x^2$;
$2x^2+3x-20=0$;
$D=3^2+4\cdot 2\cdot 20=9+160=169$, тогда:
$x_1=\frac{-3-13}{2\cdot 2}=-4$ и $x_2=\frac{-3+13}{2\cdot 2}=2,5$;
$y_1=16-10=6$ и $y_2=6,25-10=-3,75$;

Область определения:
$x^2-10\ge 0$;
$(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10})\ge 0$;
$x\le -\sqrt{10}$, $x\ge \sqrt{10}$;

Ответ: $(-4;6)$.

а) Найти точки пересечения графиков:

$$y=x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6\text{и}y=\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }$$

Общая идея:

Найти точки пересечения двух графиков — это значит решить уравнение:

$$x^2-5\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6=\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }$$

Так как уравнение содержит модули, разбиваем область определения на промежутки, в которых модули раскрываются по-разному.

Разбиваем на три случая:

• $x\le 0$
• $0<x\le 6$
• $x>6$

Случай 1: $x\le 0$

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$
• $\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }=6-x$ (так как $x-6\le 0$)

Подставляем:

$$x^2-5(-x)+6=6-x\Rightarrow x^2+5x+6=6-x$$

Переносим всё в левую часть:

$$x^2+5x+6-6+x=0\Rightarrow x^2+6x=0$$

Разложим на множители:

$$x(x+6)=0$$

Находим корни:

$$x_1=0,x_2=-6$$

Оба корня удовлетворяют условию $x\le 0$. Подставим в любую из функций, например во вторую: $y=\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }$.

• При $x=-6$:
  $y=\mathrm{\mid }-6-6\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-12\mathrm{\mid }=12\Rightarrow (-6;12)$
• При $x=0$:
  $y=\mathrm{\mid }0-6\mathrm{\mid }=6\Rightarrow (0;6)$

Случай 2: $0<x\le 6$

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$
• $\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }=6-x$

Подставим:

$$x^2-5x+6=6-x$$

Переносим всё в левую часть:

$$x^2-5x+6-6+x=0\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x(x-4)=0$$

Корни:

$$x_1=0,x_2=4$$

Проверяем, какие из них входят в промежуток $0<x\le 6$:

• $x=0$: не входит (строгое неравенство)
• $x=4$: входит

Вычисляем $y$:

• $y=\mathrm{\mid }4-6\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }=2\Rightarrow (4;2)$

Случай 3: $x>6$

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$
• $\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }=x-6$

Подставим:

$$x^2-5x+6=x-6\Rightarrow x^2-6x+12=0$$

Дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=36-48=-12<0$$

Корней нет, значит пересечений нет.

Ответ к пункту а:

$$\boxed{{\displaystyle (-6;12);(0;6);(4;2)}}$$

б) Найти точки пересечения графиков:

$$y=\mathrm{\mid }{x}^2+3x-10\mathrm{\mid },y=x^2-10$$

Общая идея:

Решаем уравнение:

$$\mathrm{\mid }{x}^2+3x-10\mathrm{\mid }=x^2-10$$

Здесь снова рассмотрим случаи, в зависимости от знака подмодульного выражения $x^2+3x-10$.

Случай 1: $x^2+3x-10\ge 0$

Тогда модуль раскрывается как:

$$\mathrm{\mid }{x}^2+3x-10\mathrm{\mid }=x^2+3x-10$$

Получаем:

$$x^2+3x-10=x^2-10\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0$$

Проверим условие:

$$x^2+3x-10=-10<0\Rightarrow x=0\text{ не принадлежит области, }$$

$$\text{где выражение под модулем неотрицательно}$$

Значит, $x=0$ относится ко второму случаю.

Случай 2: $x^2+3x-10<0$

Тогда:

$$\mathrm{\mid }{x}^2+3x-10\mathrm{\mid }=-(x^2+3x-10)=-x^2-3x+10$$

Уравнение:

$$-x^2-3x+10=x^2-10\Rightarrow -2x^2-3x+20=0\Rightarrow 2x^2+3x-20=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 20=9+160=169$$

Корни:

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm 13}{4}\Rightarrow x_1=\frac{-16}{4}=-4,x_2=\frac{10}{4}=2.5$$

Проверим, удовлетворяют ли они условию $x^2+3x-10<0$:

• $x=-4$:
  $16-12-10=-6<0$ — подходит
• $x=2.5$:
  $6.25+7.5-10=3.75>0$ — не подходит

Значит, только $x=-4$

Вычислим $y$:

• $y=x^2-10=16-10=6\Rightarrow (-4;6)$

Случай 3: $x=0$

Так как $x=0$ не входит ни в первую, ни во вторую область, его нужно проверить отдельно.

Подставим:

• $y_1=\mathrm{\mid }{0}^2+0-10\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-10\mathrm{\mid }=10$
• $y_2=0^2-10=-10$

Не равны, точка не принадлежит графикам одновременно.

Но в предыдущем решении из условия:

$x^2+3x-10=x^2-10\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0,y=-10$

Это утверждение корректно только если считать, что $x^2+3x-10=x^2-10$, но тогда:

$$3x=0\Rightarrow x=0,y=-10$$

Тем не менее, при $x=0$, $y=\mathrm{\mid }-10\mathrm{\mid }=10\mathrm{\ne }-10$, значит, точка не принадлежит графикам одновременно.

Следовательно, из всех найденных точек пересечения остаётся только:

$$\boxed{{\displaystyle (-4;6)}}$$

Окончательный ответ:

а) $\boxed{{\displaystyle (-6;12),(0;6),(4;2)}}$
б) $\boxed{{\displaystyle (-4;6)}}$