ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 428 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все корни уравнения x^2+6|3-x|-34=0, принадлежащие промежутку (—5; 5).

Найти корни уравнения:

\[
x^2 + 6|3 — x| — 34 = 0;
\]

1) Если \( x \leq 3 \), тогда:

\[
x^2 + 6(3 — x) — 34 = 0;
\]

\[
x^2 — 6x — 16 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8;
\]

2) Если \( x > 3 \), тогда:

\[
x^2 + 6(x — 3) — 34 = 0;
\]

\[
x^2 + 6x — 52 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 36 + 208 = 244, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{61}}{2} = -3 \pm \sqrt{61};
\]

Ответ: \( -2; \, \sqrt{61} — 3 \).

Уравнение:

\[
x^2 + 6|3 — x| — 34 = 0
\]

Рассмотрим два случая:

1. Если \( x \leq 3 \):

В этом случае \( |3 — x| = 3 — x \), и уравнение примет вид:

\[
x^2 + 6(3 — x) — 34 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + 18 — 6x — 34 = 0
\]

\[
x^2 — 6x — 16 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение:

\[
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8
\]

Проверим, удовлетворяют ли корни условию \( x \leq 3 \):

• Для \( x_1 = -2 \) подходит, так как \( -2 \leq 3 \)
• Для \( x_2 = 8 \) не подходит, так как \( 8 > 3 \)

Таким образом, из этого случая корень: \( x = -2 \).

2. Если \( x > 3 \):

В этом случае \( |3 — x| = x — 3 \), и уравнение примет вид:

\[
x^2 + 6(x — 3) — 34 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + 6x — 18 — 34 = 0
\]

\[
x^2 + 6x — 52 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение:

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 36 + 208 = 244
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{61}}{2} = -3 \pm \sqrt{61}
\]

Проверим, удовлетворяют ли корни условию \( x > 3 \):

• Для \( x_1 = -3 — \sqrt{61} \) не подходит, так как это отрицательное число
• Для \( x_2 = -3 + \sqrt{61} \) подходит, так как \( \sqrt{61} \approx 7.81 \), и \( -3 + 7.81 \approx 4.81 \), что больше 3

Таким образом, из этого случая корень: \( x = -3 + \sqrt{61} \).

Ответ:

Корни уравнения: \( x = -2 \) и \( x = -3 + \sqrt{61} \).