ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 427 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) 6x^2-7|x|-3=0; в) x|x-6|+7=0;

б) x^2-18|x-2|-4=0; г) x|13-x|-22=0.

Решить уравнение:

а) \( 6x^2 — 7|x| — 3 = 0 \);

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121, \quad \text{тогда:}
\]

\[
|x_1| = \frac{7 — 11}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}, \quad |x_2| = \frac{7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = 1.5;
\]

Ответ: \( -1.5; 1.5 \).

б) \( x^2 — 18|x — 2| — 4 = 0 \);

Если \( x \geq 2 \), тогда:

\[
x^2 — 18(x — 2) — 4 = 0;
\]

\[
x^2 — 18x + 32 = 0;
\]

\[
D = 18^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 324 — 128 = 196, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{18 — 14}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{18 + 14}{2} = 16;
\]

Если \( x < 2 \), тогда:

\[
x^2 + 18(x — 2) — 4 = 0;
\]

\[
x^2 + 18x — 40 = 0;
\]

\[
D = 18^2 + 4 \cdot 1 \cdot 40 = 324 + 160 = 484, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-18 — 22}{2} = -20, \quad x_2 = \frac{-18 + 22}{2} = 2;
\]

Ответ: \( 20; 2; 16 \).

в) \( |x — 6| |x — 4| + 7 = 0 \);

Если \( x \geq 6 \), тогда:

\[
x(x — 6) + 7 = 0;
\]

\[
x^2 — 6x + 7 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 — 28 = 8, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = 3 \pm \sqrt{2};
\]

Если \( x < 6 \), тогда:

\[
x(6 — x) + 7 = 0;
\]

\[
x^2 — 6x + 7 = 0;
\]

\[
D = 8, \quad x = 3 \pm \sqrt{2};
\]

Ответ: \( — 1 \).

г) \( x |13 — x| — 22 = 0 \);

Если \( x \leq 13 \), тогда:

\[
x(13 — x) — 22 = 0;
\]

\[
x^2 — 13x + 22 = 0;
\]

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 — 88 = 81, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{13 — 9}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{13 + 9}{2} = 11;
\]

Если \( x > 13 \), тогда:

\[
x(x — 13) — 22 = 0;
\]

\[
x^2 — 13x + 22 = 0;
\]

\[
D = 257, \quad x_1 = \frac{13 + \sqrt{257}}{2}, \quad x_2 = \frac{13 — \sqrt{257}}{2};
\]

Ответ: \( 2; 11; \quad x_2 = \frac{13 — \sqrt{257}}{2}\).

Решение уравнений:

а) \( 6x^2 — 7|x| — 3 = 0 \)

Рассмотрим уравнение \( 6x^2 — 7|x| — 3 = 0 \).

Решим для двух случаев:

Случай 1: \( x \geq 0 \)

Тогда \( |x| = x \), уравнение становится:

\( 6x^2 — 7x — 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 \)

Решения:

\( x_1 = \frac{7 — 11}{2 \cdot 6} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} \), но поскольку \( x \geq 0 \), это значение не подходит.

\( x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = 1.5 \), это решение подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

Тогда \( |x| = -x \), уравнение становится:

\( 6x^2 + 7x — 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 \)

Решения:

\( x_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -1.5 \), это решение подходит.

\( x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \), но \( x < 0 \), поэтому это решение не подходит.

Ответ: \( x = -1.5 \) и \( x = 1.5 \).

б) \( x^2 — 18|x — 2| — 4 = 0 \)

Рассмотрим уравнение \( x^2 — 18|x — 2| — 4 = 0 \).

Решим для двух случаев:

Случай 1: \( x \geq 2 \)

Тогда \( |x — 2| = x — 2 \), уравнение становится:

\( x^2 — 18(x — 2) — 4 = 0 \)

Упростим:

\( x^2 — 18x + 36 — 4 = 0 \)

\( x^2 — 18x + 32 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 324 — 128 = 196 \)

Решения:

\( x_1 = \frac{18 — 14}{2} = 2 \), это решение подходит.

\( x_2 = \frac{18 + 14}{2} = 16 \), это решение также подходит.

Случай 2: \( x < 2 \)

Тогда \( |x — 2| = 2 — x \), уравнение становится:

\( x^2 — 18(2 — x) — 4 = 0 \)

Упростим:

\( x^2 — 36 + 18x — 4 = 0 \)

\( x^2 + 18x — 40 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = 18^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484 \)

Решения:

\( x_1 = \frac{-18 — 22}{2} = -20 \), это решение подходит.

\( x_2 = \frac{-18 + 22}{2} = 2 \), но \( x < 2 \), это решение не подходит.

Ответ: \( x = -20 \), \( x = 2 \), и \( x = 16 \).

в) \( |x — 6| |x — 4| + 7 = 0 \)

Рассмотрим уравнение \( |x — 6| |x — 4| + 7 = 0 \).

Так как левая часть выражения всегда положительна, сумма не может быть равна нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Ответ: \( — 1 \).

г) \( x |13 — x| — 22 = 0 \)

Рассмотрим уравнение \( x |13 — x| — 22 = 0 \).

Разделим на два случая:

Случай 1: \( x \leq 13 \)

Тогда \( |13 — x| = 13 — x \), уравнение становится:

\( x(13 — x) — 22 = 0 \)

Упростим:

\( 13x — x^2 — 22 = 0 \)

\( x^2 — 13x + 22 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 — 88 = 81 \)

Решения:

\( x_1 = \frac{13 — 9}{2} = 2 \), это решение подходит.

\( x_2 = \frac{13 + 9}{2} = 11 \), это решение также подходит.

Случай 2: \( x > 13 \)

Тогда \( |13 — x| = x — 13 \), уравнение становится:

\( x(x — 13) — 22 = 0 \)

Упростим:

\( x^2 — 13x — 22 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 169 + 88 = 257 \)

Решения:

\( x_1 = \frac{13 + \sqrt{257}}{2}, \quad x_2 = \frac{13 — \sqrt{257}}{2} \)

Поскольку \( x > 13 \), то оба корня будут положительными и удовлетворяют условию \( x > 13 \).

Ответ: \( 2; 11; \quad x_2 = \frac{13 — \sqrt{257}}{2}\).