ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 424 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (x^3-2x^2+5x-10)/(3-2x) > 0; в) (x^4-2x^3-8x+16)/x^3?0;

б) (x^3-x^2+x-6)/(18x-27) < 0; г) (x^4-10x^2+24)/(x^2-3) < 0.

Решить неравенство:

а)
\[
\frac{x^3 — 2x^2 + 5x — 10}{3 — 2x} > 0;
\]

\[
\frac{x^2(x — 2) + 5(x — 2)}{2x — 3} < 0;
\]

\[
\frac{(x^2 + 5)(x — 2)}{2x — 3} < 0;
\]

\[
x — 2 < 0, \quad 2x — 3 < 0;
\]

\[
1,5 < x < 2.
\]

Ответ:

\[
(1,5; 2).
\]

б)
\[
\frac{x^3 — x^2 + x — 6}{18x — 27} < 0;
\]

Схема деления:
\[
1 \quad -1 \quad 1 \quad -6
2 \quad 1 \quad 1 \quad 3 \quad 0
\]

\[
\frac{(x — 2)(x^2 + x + 3)}{9(2x — 3)} < 0;
\]

\[
2x — 3 > 0, \quad 1,5 < x < 2;
\]

Ответ:

\[
(1,5; 2).
\]

в)
\[
\frac{x^4 — 2x^3 — 8x + 16}{x^3} \geq 0;
\]

\[
\frac{x^3(x — 2) — 8(x — 2)}{x} \geq 0;
\]

\[
\frac{(x^3 — 8)(x — 2)}{x} \geq 0;
\]

\[
\frac{(x — 2)^2}{x} \geq 0;
\]

\[
x > 0, \quad x = 2.
\]

Ответ:

\[
(0; +\infty).
\]

г)
\[
\frac{x^4 — 10x^2 + 24}{x^2 — 3} < 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4,
\]
тогда:

\[
x_1^2 = \frac{10 — 2}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{10 + 2}{2} = 6;
\]

\[
\frac{(x^2 — 4)(x^2 — 6)}{x^2 — 3} < 0;
\]

\[
\frac{(x + \sqrt{6})(x + 2)(x — 2)(x — \sqrt{6})}{(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3})} < 0;
\]

\[
-\sqrt{6} < x < -2, \quad -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}, \quad 2 < x < \sqrt{6}.
\]

Ответ:

\[
(-\sqrt{6}; -2) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (2; \sqrt{6}).
\]

Задача а)

Неравенство:

\( \frac{x^3 — 2x^2 + 5x — 10}{3 — 2x} > 0 \)

Решение:

Приводим неравенство к более простой форме:

\( \frac{x^2(x — 2) + 5(x — 2)}{2x — 3} < 0 \)

Далее получаем:

\( \frac{(x^2 + 5)(x — 2)}{2x — 3} < 0 \)

Необходимо решить:

\( x — 2 < 0, \quad 2x — 3 < 0 \)

Решение:

\( 1,5 < x < 2 \)

Ответ: \( (1,5; 2) \)

Задача б)

Неравенство:

\( \frac{x^3 — x^2 + x — 6}{18x — 27} < 0 \)

Схема деления:

\( 1 \quad -1 \quad 1 \quad -6 \)

\( 2 \quad 1 \quad 1 \quad 3 \quad 0 \)

Решаем:

\( \frac{(x — 2)(x^2 + x + 3)}{9(2x — 3)} < 0 \)

Получаем:

\( 2x — 3 > 0, \quad 1,5 < x < 2 \)

Ответ: \( (1,5; 2) \)

Задача в)

Неравенство:

\( \frac{x^4 — 2x^3 — 8x + 16}{x^3} \geq 0 \)

Решаем:

\( \frac{x^3(x — 2) — 8(x — 2)}{x} \geq 0 \)

Получаем:

\( \frac{(x^3 — 8)(x — 2)}{x} \geq 0 \)

Упрощаем:

\( \frac{(x — 2)^2}{x} \geq 0 \)

Решаем:

\( x > 0, \quad x = 2 \)

Ответ: \( (0; +\infty) \)

Задача г)

Неравенство:

\( \frac{x^4 — 10x^2 + 24}{x^2 — 3} < 0 \)

Дискриминант:

\( D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4 \), тогда:

\( x_1^2 = \frac{10 — 2}{2} = 4, \quad x_2^2 = \frac{10 + 2}{2} = 6 \)

Приводим неравенство:

\( \frac{(x^2 — 4)(x^2 — 6)}{x^2 — 3} < 0 \)

Раскладываем:

\( \frac{(x + \sqrt{6})(x + 2)(x — 2)(x — \sqrt{6})}{(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3})} < 0 \)

Получаем интервалы:

\( -\sqrt{6} < x < -2, \quad -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}, \quad 2 < x < \sqrt{6} \)

Ответ: \( (-\sqrt{6}; -2) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (2; \sqrt{6}) \)