ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 420 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) x^4-34x^2-72 < 0; г) x^4+9x^2-22?0;

б) x^4-2x^2-15?0; д) x^4-3x^3-x+3 < 0;

в) x^4+x^2-30 < 0; е) x^4+5x^3-x-5?0.

Решить неравенство:

a)
\[
x^4 — 34x^2 — 72 < 0;
\]

\[
D = 34^2 + 4 \cdot 72 = 1156 + 288 = 1444, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{34 — 38}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{34 + 38}{2} = \frac{72}{2} = 36;
\]

\[
(x^2 + 2)(x^2 — 36) < 0;
\]

\[
(x + 6)(x — 6) < 0;
\]

\[
-6 < x < 6.
\]

Ответ:

\[
(-6; 6).
\]

б)
\[
x^4 — 2x^2 — 15 \leq 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{2 + 8}{2} = 5;
\]

\[
(x^2 + 3)(x^2 — 5) \leq 0;
\]

\[
(x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) \leq 0;
\]

\[
-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.
\]

Ответ:

\[
[-\sqrt{5}; \sqrt{5}].
\]

в)

\[
x^4 + x^2 — 30 < 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{-1 — 11}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5;
\]

\[
(x^2 + 6)(x^2 — 5) < 0;
\]

\[
(x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) < 0;
\]

\[
-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}.
\]

Ответ:

\[
(-\sqrt{5}; \sqrt{5}).
\]

г)
\[
x^4 + 9x^2 — 22 \geq 0;
\]

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 22 = 81 + 88 = 169, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{-9 — 13}{2} = -11 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{-9 + 13}{2} = 2;
\]

\[
(x^2 + 11)(x^2 — 2) \geq 0;
\]

\[
(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) \geq 0;
\]
\[
x \leq -\sqrt{2}, \, x \geq \sqrt{2}.
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty).
\]

д)
\[
x^4 — 3x^3 — x + 3 < 0;
\]

\[
x^3(x — 3) — (x — 3) < 0;
\]

\[
(x^3 — 1)(x — 3) < 0;
\]

\[
(x — 1)(x — 3) < 0;
\]

\[
1 < x < 3.
\]

Ответ:

\[
(1; 3).
\]

е)
\[
x^4 + 5x^3 — x — 5 \geq 0;
\]

\[
x^3(x + 5) — (x + 5) \geq 0;
\]

\[
(x^3 — 1)(x + 5) \geq 0;
\]

\[
(x + 5)(x — 1) \geq 0;
\]

\[
x \leq -5, \, x \geq 1.
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -5] \cup [1; +\infty).
\]

Заданы неравенства:

a) \( x^4 — 34x^2 — 72 < 0 \)

Шаг 1: Решаем уравнение: \( x^4 — 34x^2 — 72 = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — 34y — 72 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант: \( D = (-34)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444 \)

Шаг 3: Находим корни: \( y_1 = \frac{34 — 38}{2} = -2 \), \( y_2 = \frac{34 + 38}{2} = 36 \)

Поскольку \( y = x^2 \), мы получаем неравенство:

\( (x + 6)(x — 6) < 0 \)

Шаг 4: Решаем неравенство: \( -6 < x < 6 \)

Ответ: \( (-6; 6) \)

b) \( x^4 — 2x^2 — 15 \leq 0 \)

Шаг 1: Решаем уравнение: \( x^4 — 2x^2 — 15 = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — 2y — 15 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \)

Шаг 3: Находим корни: \( y_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \), \( y_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \)

Поскольку \( y = x^2 \), мы получаем неравенство:

\( (x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) \leq 0 \)

Шаг 4: Решаем неравенство: \( -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \)

Ответ: \( [-\sqrt{5}; \sqrt{5}] \)

в) \( x^4 + x^2 — 30 < 0 \)

Шаг 1: Решаем уравнение: \( x^4 + x^2 — 30 = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + y — 30 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121 \)

Шаг 3: Находим корни: \( y_1 = \frac{-1 — 11}{2} = -6 \), \( y_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5 \)

Поскольку \( y = x^2 \), мы получаем неравенство:

\( (x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) < 0 \)

Шаг 4: Решаем неравенство: \( -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} \)

Ответ: \( (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \)

г) \( x^4 + 9x^2 — 22 \geq 0 \)

Шаг 1: Решаем уравнение: \( x^4 + 9x^2 — 22 = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 9y — 22 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант: \( D = 9^2 — 4 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 \)

Шаг 3: Находим корни: \( y_1 = \frac{-9 — 13}{2} = -11 \), \( y_2 = \frac{-9 + 13}{2} = 2 \)

Поскольку \( y = x^2 \), мы получаем неравенство:

\( (x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) \geq 0 \)

Шаг 4: Решаем неравенство: \( x \leq -\sqrt{2} \) или \( x \geq \sqrt{2} \)

Ответ: \( (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty) \)

д) \( x^4 — 3x^3 — x + 3 < 0 \)

Шаг 1: Решаем уравнение: \( x^4 — 3x^3 — x + 3 = 0 \)

Мы приводим уравнение к виду:

\( x^3(x — 3) — (x — 3) = 0 \)

Шаг 2: Упрощаем: \( (x^3 — 1)(x — 3) = 0 \)

Шаг 3: Находим корни: \( x = 1 \) и \( x = 3 \)

Шаг 4: Решаем неравенство: \( (x — 1)(x — 3) < 0 \)

Ответ: \( (1; 3) \)

е) \( x^4 + 5x^3 — x — 5 \geq 0 \)

Шаг 1: Решаем уравнение: \( x^4 + 5x^3 — x — 5 = 0 \)

Мы приводим уравнение к виду:

\( x^3(x + 5) — (x + 5) = 0 \)

Шаг 2: Упрощаем: \( (x^3 — 1)(x + 5) = 0 \)

Шаг 3: Находим корни: \( x = 1 \) и \( x = -5 \)

Шаг 4: Решаем неравенство: \( (x + 5)(x — 1) \geq 0 \)

Ответ: \( (-\infty; -5] \cup [1; +\infty) \)