ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 418 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a каждое решение неравенства 3(a-4x)+2(x-4) < 0 является решением неравенства x^2-4x+3 > 0?

Найти значения a:

\[
\begin{cases}
3(a — 4x) + 2(x — 4) < 0, \\
x^2 — 4x + 3 > 0.
\end{cases}
\]

1) Второе неравенство:

\[
x^2 — 4x + 3 > 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\]

\[
(x — 1)(x — 3) > 0;
\]

\[
x < 1 \quad \text{или} \quad x > 3.
\]

2) Первое неравенство:
\[
3(a — 4x) + 2(x — 4) < 0;
\]

\[
3a — 12x + 2x — 8 < 0;
\]

\[
10x > 3a — 8;
\]

\[
x > \frac{3a — 8}{10} \quad \text{и} \quad x \geq 3;
\]

\[
3a — 8 \geq 30;
\]

\[
3a \geq 38, \quad a \geq 12 \frac{2}{3}.
\]

Ответ:

\[
\left[12 \frac{2}{3}; +\infty\right).
\]

Заданы неравенства:

1) Второе неравенство: \( x^2 — 4x + 3 > 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант (D) для квадратного уравнения \( x^2 — 4x + 3 = 0 \):

Дискриминант: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

Корни уравнения: \( x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

Шаг 3: Решаем неравенство \( (x — 1)(x — 3) > 0 \):

Решаем неравенство \( (x — 1)(x — 3) > 0 \) с использованием анализа знаков произведения двух скобок:

• Когда \( x < 1 \), оба множителя отрицательны, следовательно, произведение положительно.
• Когда \( 1 < x < 3 \), один множитель положительный, а другой отрицательный, следовательно, произведение отрицательно.
• Когда \( x > 3 \), оба множителя положительны, следовательно, произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства \( x < 1 \) или \( x > 3 \), то есть \( x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \).

Ответ: \( x < 1 \) или \( x > 3 \)

2) Первое неравенство: \( 3(a — 4x) + 2(x — 4) < 0 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем:

Раскрываем скобки:

\( 3(a — 4x) + 2(x — 4) = 3a — 12x + 2x — 8 \)

Упрощаем:

\( 3a — 10x — 8 < 0 \)

Шаг 2: Изолируем \(x\):

\( 10x > 3a — 8 \)

\( x > \frac{3a — 8}{10} \)

Шаг 3: Учитываем условие \( x \geq 3 \):

У нас есть дополнительное условие, что \( x \geq 3 \), поэтому мы должны учесть его в решении:

\( \frac{3a — 8}{10} \leq 3 \)

Шаг 4: Решаем неравенство для \(a\):

Умножаем обе части неравенства на 10:

\( 3a — 8 \leq 30 \)

\( 3a \leq 38 \)

\( a \leq \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3} \)

Ответ: \( a \geq 12 \frac{2}{3} \)

Итоговый ответ для системы:

Наименьшее значение для \(a\) при котором система решений выполняется: \( a \geq 12 \frac{2}{3} \)